Calculadora del Teorema del Resto

Calculadora del Teorema del Resto

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Para P(x) = 2x³ − 3x² + 5 introduce: 2, -3, 0, 5

Fórmula

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Resultados

Resto = P(c)
9
when P(x) is divided by (x − 2)
Grado del polinomio 3
Valor de c del divisor 2

¿Qué es el teorema del resto?

El teorema del resto es uno de los resultados básicos del álgebra: cuando divides un polinomio P(x) entre un factor lineal (x − c), el resto de esa división es exactamente P(c). Dicho de otro modo, no hace falta realizar la división polinómica completa para hallar el resto; basta con sustituir c en el polinomio y evaluarlo. Esta calculadora lo hace por ti de forma inmediata.

Un polinomio dividido entre x menos c da un cociente y un resto igual a P de c
El teorema del resto: dividir P(x) entre (x − c) deja un resto igual a P(c).

Cómo usar esta calculadora

Introduce los coeficientes del polinomio empezando por el término de mayor grado y terminando por el término independiente, separados por comas o espacios. No olvides incluir ceros en los términos que falten. Por ejemplo, \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) no tiene término en \(x\), así que escribirías 2, -3, 0, 5. Después indica el valor de \(c\), que se obtiene del divisor \((x - c)\). Si tu divisor es \((x + 4)\), entonces \(c = -4\). Pulsa calcular para obtener el resto \(P(c)\).

La fórmula explicada

El teorema afirma que \(R = P(c)\). Internamente utilizamos el método de Horner, que reescribe el polinomio en forma anidada para hallar el valor con el menor número de multiplicaciones y la mejor estabilidad numérica. Partiendo de 0, por cada coeficiente multiplicamos el total acumulado por \(c\) y le sumamos el siguiente coeficiente. El resultado final es \(P(c)\), que coincide con el resto.

$$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,\text{c}^{\,n-i}$$
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Ejemplo resuelto

Sea \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) y dividamos entre \((x - 2)\), de modo que \(c = 2\). Vamos paso a paso con Horner: empezamos en 0; \(\times 2 + 2 = 2\); \(\times 2 + (-3) = 1\); \(\times 2 + 0 = 2\); \(\times 2 + 5 = 9\). Por tanto \(P(2) = 9\) y el resto es 9. Puedes comprobarlo por sustitución directa: $$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9.$$

Esquema de división sintética con los coeficientes en la fila superior y c a la izquierda, con el valor final recuadrado
División sintética entre (x − c): el último número de la fila inferior es el resto P(c).

Preguntas frecuentes

¿Y si c hace que el resto sea cero? Si \(P(c) = 0\), entonces \((x - c)\) divide a \(P(x)\) de forma exacta: \(c\) es una raíz y \((x - c)\) es un factor (teorema del factor).

¿Cómo introduzco (x + 3) como divisor? Reescribe \(x + 3\) como \(x - (-3)\), así que introduce \(c = -3\).

¿Necesito todos los coeficientes? Sí: incluye un 0 por cada potencia que falte para que las posiciones encajen correctamente.

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