Калькулятор остатка по теореме Безу

Введите расчет

Коэффициенты многочлена (от старшей степени, через запятую или пробел) Для P(x) = 2x³ − 3x² + 5 введите: 2, -3, 0, 5

Значение c делителя (из x − c)

Результатов

Остаток = P(c)

9

when P(x) is divided by (x − 2)

Степень многочлена	3
Значение c делителя	2

Что такое теорема Безу?

Теорема Безу (в зарубежной литературе — Remainder Theorem, «теорема об остатке») — одно из базовых утверждений алгебры: при делении многочлена P(x) на линейный двучлен (x − c) остаток в точности равен P(c). Иными словами, чтобы найти остаток, не нужно выполнять деление многочлена «уголком» — достаточно подставить c в многочлен и вычислить его значение. Этот калькулятор делает всё за вас мгновенно.

Теорема об остатке: при делении P(x) на (x − c) остаток равен P(c).

Как пользоваться калькулятором

Введите коэффициенты многочлена по убыванию степеней — от старшего члена до свободного, разделяя их запятыми или пробелами. Обязательно ставьте нули вместо пропущенных членов. Например, в многочлене \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) нет члена с \(x\), поэтому нужно ввести 2, -3, 0, 5. Затем укажите значение \(c\) из делителя \((x - c)\). Если делитель равен \((x + 4)\), то \(c = -4\). Нажмите «Вычислить» — и получите остаток \(P(c)\).

Разбор формулы

Теорема утверждает: \(R = P(c)\). Внутри калькулятор использует схему Горнера, которая переписывает многочлен во вложенном виде, благодаря чему значение находится с минимальным числом умножений и максимальной численной устойчивостью. Начинаем с 0: для каждого коэффициента умножаем текущий результат на \(c\) и прибавляем следующий коэффициент. Итоговое число и есть \(P(c)\), равное искомому остатку.

$$\begin{gathered} \text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,\text{c}^{\,n-i} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients} \\ c &= \text{Divisor value (from } x - c) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Реклама

Разбор примера

Пусть \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\), делим на \((x - 2)\), то есть \(c = 2\). Считаем по схеме Горнера шаг за шагом: старт 0; \(\times 2 + 2 = 2\); \(\times 2 + (-3) = 1\); \(\times 2 + 0 = 2\); \(\times 2 + 5 = 9\). Значит, \(P(2) = 9\), и остаток равен 9. Проверить можно прямой подстановкой: $$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9.$$

Деление по схеме Горнера на (x − c): последнее число в нижней строке — остаток P(c).

Частые вопросы

Что, если при подстановке c остаток равен нулю? Если \(P(c) = 0\), то \((x - c)\) делит \(P(x)\) нацело: \(c\) — это корень многочлена, а \((x - c)\) — его множитель (теорема о разложении на множители).

Как ввести делитель вида (x + 3)? Перепишите \(x + 3\) как \(x - (-3)\), то есть введите \(c = -3\).

Нужно ли указывать каждый коэффициент? Да — обязательно ставьте 0 для каждой отсутствующей степени, чтобы позиции коэффициентов совпадали.