Что такое формула Муавра?
Формула Муавра — это одно из ключевых тождеств в теории комплексных чисел, которое позволяет возвести комплексное число, записанное в тригонометрической форме, в любую степень без утомительного перемножения. Если комплексное число имеет модуль r и аргумент θ, то при возведении его в степень n модуль возводится в степень rⁿ, а угол умножается на n. Этот калькулятор делает всё это за вас и сразу переводит результат обратно в привычную алгебраическую форму \(a + bi\).
Как пользоваться калькулятором
Введите модуль r (расстояние от начала координат), угол θ (аргумент), показатель степени n и выберите, в чём задан угол — в градусах или радианах. Калькулятор выдаст новый модуль \(r^{n}\), новый угол \(n\theta\), а также действительную и мнимую части результата.
Разбор формулы
Формула звучит так: $$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$ Модуль возводится в степень \(n\), а угол умножается на \(n\). При переходе к алгебраической форме получаем \(a = r^{n}\cdot\cos\!\left(n\theta\right)\) и \(b = r^{n}\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\).
Пример с решением
Возьмём \(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\). Новый модуль равен \(2^{3} = 8\), а новый угол — \(3 \times 30° = 90°\). Значит, результат: $$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i$$
Частые вопросы
Обязательно ли n должно быть целым числом? Формула Муавра в чистом виде справедлива для целых показателей степени. При нецелом показателе вы получите один из корней, но у комплексных чисел в общем случае таких корней несколько.
Градусы или радианы? Подойдёт любой вариант — главное, выбрать соответствующую единицу. Угол в ответе будет выражен в той же единице, что вы указали.
А если r отрицательное? Обычно модуль не бывает отрицательным. Отрицательное r здесь подставляется буквально в степень \(r^{n}\), что при нецелом n может дать неожиданные знаки.
