드무아브르 정리란?
드무아브르 정리는 복소수 이론에서 매우 유용하게 쓰이는 항등식으로, 극형식으로 표현된 복소수를 반복 곱셈 없이 한 번에 거듭제곱할 수 있게 해 줍니다. 어떤 복소수의 크기가 r이고 편각이 θ일 때, 이를 n제곱하면 크기는 \(r^n\)이 되고 각도는 n배가 됩니다. 이 계산기는 그 결과를 즉시 구해 줄 뿐 아니라, 익숙한 직교형식 \(a + bi\)로도 변환해 보여 줍니다.
계산기 사용법
크기 r(원점으로부터의 거리), 각도 θ(편각), 지수 n을 입력하고, 각도 단위를 도(degree)와 라디안 중에서 선택하세요. 계산기는 새로운 크기 \(r^n\), 새로운 각도 \(n\theta\), 그리고 결과의 실수부와 허수부를 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
정리는 다음과 같습니다:
$$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$즉 크기는 n제곱이 되고 각도는 n배가 됩니다. 이를 직교형식으로 변환하면 \(a = r^{n}\cdot\cos\!\left(n\theta\right)\), \(b = r^{n}\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\)가 됩니다.
계산 예제
\(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\)을 생각해 봅시다. 새로운 크기는 \(2^{3} = 8\)이고, 새로운 각도는 \(3 \times 30° = 90°\)입니다. 따라서 결과는
$$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
n은 반드시 정수여야 하나요? 드무아브르 정리는 정수 지수에 대해 정확히 성립합니다. 정수가 아닌 지수도 하나의 유효한 근을 주지만, 복소수는 일반적으로 여러 개의 근을 갖습니다.
도(degree)와 라디안 중 무엇을 써야 하나요? 어느 쪽이든 상관없습니다. 단, 선택한 단위에 맞춰 각도를 입력하면 됩니다. 결과 각도도 선택한 단위와 동일한 단위로 표시됩니다.
r이 음수면 어떻게 되나요? 크기는 보통 0 이상의 값입니다. 음수 r은 \(r^n\) 계산에서 그대로 처리되므로, n이 정수가 아닐 경우 예상치 못한 부호가 나타날 수 있습니다.
