Qu'est-ce que le théorème de Moivre ?
Le théorème de Moivre est une identité fondamentale de la théorie des nombres complexes : il permet d'élever un nombre complexe écrit sous forme polaire à n'importe quelle puissance, sans avoir à enchaîner les multiplications. Si un nombre complexe possède un module r et un argument θ, alors l'élever à la puissance n revient simplement à élever le module à \(r^{n}\) et à multiplier l'angle par n. Cette calculatrice effectue ce calcul instantanément et reconvertit le résultat sous la forme algébrique habituelle a + bi.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez le module r (la distance à l'origine), l'angle θ (l'argument), la puissance n, puis indiquez si votre angle est exprimé en degrés ou en radians. L'outil renvoie le nouveau module \(r^{n}\), le nouvel angle \(n\theta\), ainsi que les parties réelle et imaginaire du résultat.
La formule expliquée
Le théorème s'énonce ainsi :
$$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$Le module est élevé à la puissance n, tandis que l'angle est multiplié par n. La conversion sous forme algébrique donne \(a = r^{n}\cdot\cos\!\left(n\theta\right)\) et \(b = r^{n}\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\).
Exemple résolu
Prenons \(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\). Le nouveau module vaut \(2^{3} = 8\) et le nouvel angle vaut \(3 \times 30° = 90°\). Le résultat est donc $$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i.$$
Foire aux questions
n doit-il être un nombre entier ? Le théorème de Moivre est exact pour les puissances entières. Une puissance non entière fournit une racine valable, mais un nombre complexe possède en général plusieurs racines distinctes.
Degrés ou radians ? Les deux conviennent : il suffit de choisir l'unité correspondante. L'angle obtenu est exprimé dans la même unité que celle que vous avez sélectionnée.
Et si r est négatif ? Un module est normalement positif ou nul ; un r négatif est pris au pied de la lettre dans la puissance \(r^{n}\), ce qui peut produire des signes inattendus pour un n non entier.
