棣莫弗定理計算機

輸入計算

模長 r

角度 θ

次方 n

角度單位 Degrees Radians

結果

直角座標形式 a + bi

0 + 8 i

(r(cosθ+i·sinθ))ⁿ 的計算結果

新模長 rⁿ	8
新角度 nθ	90
實部（a）	0
虛部（b）	8

什麼是棣莫弗定理？

棣莫弗定理（De Moivre's Theorem）是複數理論中相當實用的一個恆等式，能讓你把極座標形式的複數提升至任意次方，而不必反覆做乘法運算。如果一個複數的模長為 \(r\)、輻角為 \(\theta\)，那麼將它取 \(n\) 次方時，只需把模長變成 \(r^n\)，再把角度乘上 \(n\) 即可。本計算機會即時完成這些運算，並把結果換算回大家熟悉的直角座標形式 \(a + bi\)。

極座標形式的複數：模 r 與輻角 θ。

如何使用本計算機

輸入模長 r（與原點之間的距離）、角度 θ（輻角）、次方 n，並選擇你的角度是以「度」還是「弧度」表示。工具會回傳新的模長 \(r^n\)、新的角度 \(n\theta\)，以及結果的實部與虛部。

公式解析

定理的內容為：

$$\left(r\left(\cos\theta + i\cdot\sin\theta\right)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos\!\left(n\theta\right) + i\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\right)$$

也就是把模長取 \(n\) 次方，同時將角度乘上 \(n\)。換算成直角座標形式後，可得 \(a = r^{n}\cdot\cos\!\left(n\theta\right)\)、\(b = r^{n}\cdot\sin\!\left(n\theta\right)\)。

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n 次方：模變為 rⁿ，輻角變為 nθ。

實際範例

以 \(\left(2\left(\cos 30° + i\cdot\sin 30°\right)\right)^{3}\) 為例。新的模長為 \(2^{3} = 8\)，新的角度為 \(3 \times 30° = 90°\)。因此結果為

$$8\left(\cos 90° + i\cdot\sin 90°\right) = 8\left(0 + i\cdot 1\right) = 0 + 8i$$

常見問題

n 一定要是整數嗎？當次方為整數時，棣莫弗定理會精確成立。若使用非整數次方，雖然能得到一個有效的根，但複數通常會有多個根。

要用度還是弧度？兩者皆可，只要選對對應的單位即可。輸出的角度會以你所選的相同單位呈現。

如果 r 是負數會怎樣？模長一般應為非負數；若輸入負的 \(r\)，計算 \(r^n\) 時會照字面值處理，當 \(n\) 為非整數時可能產生意料之外的正負號結果。