Định lý De Moivre là gì?
Định lý De Moivre là một hằng đẳng thức mạnh mẽ trong lý thuyết số phức, cho phép bạn nâng một số phức viết ở dạng lượng giác lên lũy thừa bất kỳ mà không cần nhân lặp đi lặp lại. Nếu một số phức có môđun r và acgumen (góc) θ, thì khi nâng lên lũy thừa n, môđun trở thành rⁿ còn góc được nhân với n. Công cụ này tính toán tức thì và đồng thời chuyển kết quả về dạng đại số quen thuộc a + bi.
Cách sử dụng máy tính
Nhập môđun r (khoảng cách từ gốc tọa độ), góc θ (acgumen), số mũ n, rồi chọn đơn vị góc là độ hay radian. Công cụ sẽ trả về môđun mới \(r^{n}\), góc mới \(n\theta\), cùng phần thực và phần ảo của kết quả.
Giải thích công thức
Định lý phát biểu rằng:
$$\left(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos(n\theta) + i\cdot\sin(n\theta)\right)$$Môđun được nâng lên lũy thừa \(n\), còn góc được nhân với \(n\). Khi chuyển về dạng đại số, ta có \(a = r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) và \(b = r^{n}\cdot\sin(n\theta)\).
Ví dụ minh họa
Xét \(\left(2(\cos 30° + i\cdot\sin 30°)\right)^{3}\). Môđun mới là \(2^{3} = 8\) và góc mới là \(3 \times 30° = 90°\). Vậy kết quả là
$$8(\cos 90° + i\cdot\sin 90°) = 8(0 + i\cdot 1) = 0 + 8i$$Câu hỏi thường gặp
n có bắt buộc phải là số nguyên không? Định lý De Moivre đúng chính xác với các lũy thừa nguyên. Với lũy thừa không nguyên, công thức cho ra một căn hợp lệ, nhưng nhìn chung số phức có nhiều căn khác nhau.
Nên dùng độ hay radian? Cả hai đều được — chỉ cần chọn đúng đơn vị tương ứng. Góc kết quả sẽ được trả về theo đúng đơn vị bạn đã chọn.
Nếu r âm thì sao? Môđun thường không âm; \(r\) âm sẽ được hiểu theo nghĩa đen trong phép tính \(r^{n}\), điều này có thể tạo ra dấu bất ngờ khi \(n\) không phải số nguyên.
