Tích Có Hướng Là Gì?
Tích có hướng (tích chéo) của hai vectơ ba chiều a và b tạo ra một vectơ mới vuông góc (trực giao) với cả hai vectơ ban đầu. Đây là phép toán cốt lõi trong vật lý và kỹ thuật, được dùng để tính mômen lực, mômen động lượng, lực từ và vectơ pháp tuyến của bề mặt trong đồ họa 3D. Khác với tích vô hướng vốn chỉ trả về một con số, tích có hướng cho kết quả là một vectơ.
Cách Sử Dụng Máy Tính
Nhập ba thành phần của vectơ a (\(a_1, a_2, a_3\)) và vectơ b (\(b_1, b_2, b_3\)). Máy tính sẽ trả về vectơ kết quả \(\vec{a} \times \vec{b}\) dưới dạng bộ ba có thứ tự kèm theo độ lớn của nó. Các giá trị có thể là số dương, số âm hoặc số thập phân.
Giải Thích Công Thức
Tích có hướng được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$Mỗi thành phần chính là định thức 2×2 của các tọa độ còn lại. Độ lớn bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần, đồng thời cũng bằng \(|a||b|\sin(\theta)\) — chính là diện tích hình bình hành mà hai vectơ tạo nên.
$$\left\lVert \vec{a} \times \vec{b} \right\rVert = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử \(a = (1, 2, 3)\) và \(b = (4, 5, 6)\). Khi đó:
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$Vậy \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\), với độ lớn \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Tích có hướng có tính giao hoán không? Không. \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\); đổi thứ tự hai vectơ sẽ làm đảo ngược hướng của kết quả.
Nếu hai vectơ song song thì sao? Tích có hướng là vectơ không \((0, 0, 0)\), vì \(\sin(\theta) = 0\).
Độ lớn biểu thị điều gì? Nó bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ, và độ lớn bằng 0 nghĩa là hai vectơ phụ thuộc tuyến tính (song song hoặc ngược hướng).
