Cấp số cộng là gì?
Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng đều hơn (hoặc kém) số hạng đứng trước nó một lượng không đổi, gọi là công sai (\(d\)). Bắt đầu từ số hạng đầu \(a_1\), dãy số sẽ là \(a_1, a_1+d, a_1+2d\), và cứ thế tiếp tục. Tổng của cấp số cộng chính là tổng của tất cả các số hạng đó. Công cụ này giúp bạn tìm cả số hạng thứ n lẫn tổng của mọi cấp số cộng.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập số hạng đầu (\(a_1\)), công sai (\(d\)) và số số hạng muốn tính (\(n\)). Công cụ sẽ trả về giá trị của số hạng thứ n (\(a_n\)) và tổng \(S_n\) của n số hạng đó. Công sai có thể là số dương, số âm hoặc bằng 0, còn số hạng đầu có thể là bất kỳ số thực nào.
Giải thích các công thức
Số hạng thứ n được tính bằng cách cộng thêm công sai \((n-1)\) lần vào số hạng đầu:
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$Còn tổng thì dùng đến mẹo ghép cặp tài tình thường được gắn với tên nhà toán học Gauss — ghép số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp chót, và cứ thế. Mỗi cặp đều có tổng bằng \((a_1 + a_n)\), và có tất cả \(n/2\) cặp như vậy, nên ta có
$$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 3\), \(d = 5\) và \(n = 10\). Số hạng thứ 10 là
$$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$Tổng của 10 số hạng đầu tiên là
$$S_{10} = \frac{10}{2}\,(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$Như vậy, dãy số \(3, 8, 13, \ldots, 48\) có tổng bằng 255.
Câu hỏi thường gặp
Nếu công sai bằng 0 thì sao? Khi đó mọi số hạng đều bằng \(a_1\), nên \(a_n = a_1\) và tổng đơn giản là \(n \times a_1\).
Các số hạng có thể là số âm hay số thập phân không? Hoàn toàn được. \(a_1\) và \(d\) có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào; các công thức vẫn đúng tuyệt đối.
Dãy số và tổng dãy số khác nhau ra sao? Dãy số là danh sách các số hạng được sắp theo thứ tự, còn tổng dãy số là kết quả cộng tất cả các số hạng đó lại.
