Dãy số cộng (cấp số cộng) là gì?
Dãy số cộng — trong toán học thường gọi là cấp số cộng — là một dãy số mà mỗi số hạng đều tăng (hoặc giảm) một lượng không đổi so với số hạng trước, gọi là công sai. Vì các số hạng thay đổi đều đặn nên ta có thể tính tổng cả dãy bằng một công thức gọn gàng, thay vì phải cộng từng số một cách thủ công. Công cụ này sẽ tính tổng đó cho bạn ngay lập tức.
Cách sử dụng công cụ
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: số hạng đầu a₁, số hạng cuối aₙ và tổng số lượng số hạng n. Nhấn nút tính toán và bạn sẽ nhận được tổng của dãy, số lượng số hạng cùng giá trị trung bình của các số hạng. Bạn không cần biết công sai — chỉ cần hai đầu mút và số lượng số hạng là đủ.
Giải thích công thức
Tổng của một dãy số cộng được tính theo công thức:
$$S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$$
Ý tưởng rất đơn giản và nổi tiếng gắn liền với nhà toán học Gauss: ghép số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp chót, và cứ thế tiếp tục. Mỗi cặp đều có cùng một tổng \((a_1 + a_n)\). Với \(n\) số hạng, bạn sẽ có \(n/2\) cặp như vậy, từ đó suy ra \(S = n(a_1 + a_n)/2\). Nói cách khác, tổng bằng số lượng số hạng nhân với giá trị trung bình của một số hạng.
Ví dụ minh họa
Hãy tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100. Ở đây \(a_1 = 1\), \(a_n = 100\) và \(n = 100\). Vậy $$S = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 100 \times \frac{101}{2} = 5050.$$ Giá trị trung bình của một số hạng là \((1 + 100)/2 = 50{,}5\) và \(100 \times 50{,}5 = 5050\) — kết quả khớp hoàn toàn.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có cần biết công sai không? Không. Chỉ cần biết số hạng đầu, số hạng cuối và số lượng số hạng là công thức đã hoạt động cho mọi cấp số cộng.
Các số hạng có thể là số âm hoặc số thập phân không? Có. Công thức xử lý được cả số âm lẫn số thập phân; bạn chỉ cần nhập trực tiếp các giá trị đó.
Nếu dãy số giảm dần thì sao? Hoàn toàn không vấn đề gì — bạn nhập giá trị lớn hơn vào a₁ và giá trị nhỏ hơn vào aₙ. Tổng vẫn cho kết quả chính xác.
