Công cụ này làm gì
Máy Tính Tổng Chuỗi Đặc Biệt (Σ) tính tổng n số hạng đầu tiên của một chuỗi "đặc biệt" mà bạn chọn, dựa trên công thức thu gọn chính xác của chuỗi đó. Thay vì cộng từng số hạng một cách thủ công, công cụ áp dụng ngay một đẳng thức đã biết, nên kết quả vừa chính xác tuyệt đối vừa tức thì kể cả khi n rất lớn. Đây là công cụ toán học thuần túy, cho kết quả như nhau ở mọi nơi — không đơn vị, không phụ thuộc quốc gia hay quy định nào.
Bảy chuỗi đặc biệt
Bạn có thể chọn bất kỳ biểu thức số hạng nào dưới đây để lấy tổng từ \(k = 1\) đến \(n\):
$$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}; \quad \sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}; \quad \sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}; \quad \sum k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3};$$$$\sum \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}; \quad \sum k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}; \quad \text{và} \quad \sum \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$Chuỗi thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ sáu cho kết quả là số nguyên; còn chuỗi thứ năm và thứ bảy là các chuỗi lồng nhau (telescoping) có tổng luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
Cách sử dụng
Chọn một chuỗi trong danh sách thả xuống, nhập số số hạng n (một số nguyên dương: 1, 2, 3 …), chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi đọc kết quả tổng. Thiết lập độ chính xác chỉ ảnh hưởng đến cách hiển thị — bản thân các công thức thu gọn vốn đã chính xác tuyệt đối về mặt toán học.
Ví dụ minh họa
Chọn \(\sum k^3\) với \(n = 9\). Công thức cho ra
$$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025.$$Kết quả này khớp với đẳng thức quen thuộc \(1^3 + 2^3 + \cdots + 9^3 = 2025\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao dùng công thức thay vì cộng từng số? Công thức thu gọn có độ phức tạp \(O(1)\) — cho kết quả tức thì và chính xác bất kể n lớn đến đâu, lại không bị sai số làm tròn do cộng dồn quá nhiều số hạng.
Nếu n không phải số nguyên dương thì sao? Chỉ số tổng \(k\) chạy qua các số nguyên dương, nên n sẽ được làm tròn về số nguyên gần nhất và không nhỏ hơn 1.
Vì sao tùy chọn 5 và 7 luôn nhỏ hơn 1? Đó là các chuỗi lồng nhau có tổng riêng phần tiến dần tới 1 (với \(\frac{1}{k(k+1)}\)) hoặc tới \(\frac{1}{4}\) (với \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)), nhưng không bao giờ đạt tới giới hạn đó khi n hữu hạn.
