Máy tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Nhập phép tính

Số hạng đầu a

Công bội r

You may enter a fraction such as 1/3. The common ratio must satisfy -1 < r < 1 for the series to converge.

Kết quả

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1,42857142857143

S∞ = a / (1 - r)

Số hạng đầu a	1
Công bội r	0,3
1 − r	0,7

Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Một cấp số nhân lùi vô hạn có dạng \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\), trong đó mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với một hằng số \(r\) gọi là công bội, còn \(a\) là số hạng đầu tiên. Khi công bội đủ nhỏ — cụ thể là nằm hẳn trong khoảng từ −1 đến 1 — tổng dần của dãy sẽ tiến về một giá trị hữu hạn duy nhất thay vì tăng vô tận. Công cụ này trả về chính giá trị giới hạn đó, thường gọi là tổng vô hạn (tổng đến vô cực). Đây là toán học thuần túy nên áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi.

Khi các số hạng tiến dần về 0, tổng riêng tiến tới một giới hạn hữu hạn S.

Cách dùng công cụ này

Bạn nhập số hạng đầu a và công bội r. Cả hai đều chấp nhận số thập phân hoặc dạng phân số như 1/3, giá trị này sẽ được quy đổi sang số thập phân trước khi áp dụng công thức. Công bội phải thỏa mãn điều kiện \(-1 < r < 1\); nếu bạn nhập giá trị từ 1 trở lên (hoặc từ −1 trở xuống) thì chuỗi phân kỳ và công cụ sẽ báo lỗi thay vì trả về một con số.

Giải thích công thức

Công thức rút gọn là $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$ Nó được suy ra từ tổng riêng hữu hạn $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$ Khi \(|r| < 1\), thừa số \(r^n\) tiến dần về 0 khi \(n\) càng lớn, nên biểu thức rút gọn lại còn \(\frac{a}{1 - r}\). Mẫu số \((1 - r)\) không bao giờ bằng 0 trong khoảng giá trị hợp lệ, vì điều đó đòi hỏi \(r = 1\) — trường hợp đã bị loại trừ bởi điều kiện hội tụ.

Quảng cáo

Về mặt hình học, các mảnh nhỏ dần lấp đầy một diện tích tổng hữu hạn bằng \(S = \frac{a}{1-r}\).

Ví dụ minh họa

Giả sử \(a = 1\) và \(r = 0{,}3\). Khi đó $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0{,}3} = \frac{1}{0{,}7} \approx 1{,}42857142857143$$ Với \(a = 2\) và \(r = -0{,}5\) (chuỗi đan dấu), ta có $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0{,}5)} = \frac{2}{1{,}5} \approx 1{,}33333333333333$$

Câu hỏi thường gặp

Tại sao phải có \(-1 < r < 1\)? Ngoài khoảng này, các số hạng không nhỏ dần về 0, nên tổng riêng tăng vô hạn (\(r \ge 1\)) hoặc dao động (\(r = -1\)) và không tồn tại tổng hữu hạn.

Số hạng đầu có thể âm hoặc bằng 0 không? Có. Một giá trị \(a\) âm chỉ đơn giản làm đổi dấu của tổng, còn \(a = 0\) cho tổng bằng 0 với mọi công bội hợp lệ.

Tôi có nhập được phân số không? Được — bạn cứ gõ giá trị như 1/3 cho bất kỳ ô nào và công cụ sẽ thực hiện phép chia trước.