Calculadora de la suma de una serie geométrica infinita

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Primer término a

Razón común r

You may enter a fraction such as 1/3. The common ratio must satisfy -1 < r < 1 for the series to converge.

Resultados

Suma de la serie geométrica infinita

1,42857142857143

S∞ = a / (1 - r)

Primer término a	1
Razón común r	0,3
1 - r	0,7

¿Qué es una serie geométrica infinita?

Una serie geométrica infinita tiene la forma \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\), donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo \(r\) llamado razón común, mientras que \(a\) es el primer término. Cuando la razón es lo bastante pequeña —en concreto, cuando se sitúa estrictamente entre −1 y 1— la suma acumulada se va estabilizando hacia un único valor finito en lugar de crecer sin límite. Esta calculadora devuelve ese valor límite, conocido como suma al infinito. Es matemática pura, así que funciona igual en cualquier parte del mundo.

A medida que los términos tienden a cero, las sumas parciales se acercan a un límite finito \(S\).

Cómo usar esta calculadora

Introduce el primer término a y la razón común r. Ambos campos aceptan decimales o expresiones en forma de fracción como 1/3, que se evalúan a decimal antes de aplicar la fórmula. La razón debe cumplir \(-1 < r < 1\); si introduces un valor igual o mayor que 1 (o igual o menor que −1), la serie diverge y la herramienta lo advierte en lugar de devolver un número.

La fórmula explicada

La forma cerrada es $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}.$$ Procede de la suma parcial finita \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). Cuando \(|r| < 1\), el término \(r^n\) tiende a 0 a medida que \(n\) crece, de modo que la expresión se reduce a \(\frac{a}{1 - r}\). El denominador \((1 - r)\) nunca es cero dentro del rango válido, pues eso exigiría \(r = 1\), valor excluido por la condición de convergencia.

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Geométricamente, las piezas cada vez más pequeñas cubren un área total finita igual a \(S = \frac{a}{1 - r}\).

Ejemplo resuelto

Supongamos \(a = 1\) y \(r = 0{,}3\). Entonces $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0{,}3} = \frac{1}{0{,}7} \approx 1{,}42857142857143.$$ Para \(a = 2\) y \(r = -0{,}5\) (una serie alternada), $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0{,}5)} = \frac{2}{1{,}5} \approx 1{,}33333333333333.$$

Preguntas frecuentes

¿Por qué debe cumplirse \(-1 < r < 1\)? Fuera de este rango los términos no tienden a cero, así que las sumas parciales crecen sin límite (\(r \ge 1\)) u oscilan (\(r = -1\)) y no existe ninguna suma finita.

¿Puede el primer término ser negativo o cero? Sí. Una \(a\) negativa simplemente cambia el signo de la suma, y \(a = 0\) da una suma de 0 para cualquier razón válida.

¿Puedo introducir una fracción? Sí: escribe valores como 1/3 en cualquiera de los campos y la calculadora resuelve primero la división.