अनंत गुणोत्तर श्रेणी क्या होती है?
अनंत गुणोत्तर श्रेणी (इन्फिनिट जियोमेट्रिक सीरीज़) का रूप होता है \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\), जिसमें हर अगला पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या \(r\) से गुणा करके बनता है। इस \(r\) को सार्व अनुपात (कॉमन रेशियो) कहते हैं और \(a\) पहला पद होता है। जब यह अनुपात पर्याप्त रूप से छोटा हो — ठीक-ठीक कहें तो जब यह −1 और 1 के बीच ही रहे — तब पदों का जुड़ता हुआ योग अनंत तक बढ़ने के बजाय एक निश्चित परिमित मान की ओर सिमट जाता है। यह कैलकुलेटर वही सीमित मान देता है, जिसे अनंत तक का योग (सम टू इनफिनिटी) कहते हैं। यह शुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक समान लागू होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहला पद a और सार्व अनुपात r दर्ज करें। दोनों खानों में आप दशमलव संख्या या 1/3 जैसी भिन्न दोनों डाल सकते हैं; सूत्र लगाने से पहले भिन्न को दशमलव में बदल लिया जाता है। अनुपात को शर्त \(-1 < r < 1\) पूरी करनी ही चाहिए। यदि आप 1 या उससे बड़ा (या −1 या उससे छोटा) मान डालते हैं, तो श्रेणी अपसारी (डाइवर्ज) हो जाती है और तब कैलकुलेटर कोई संख्या देने के बजाय इसकी सूचना दिखा देता है।
सूत्र की व्याख्या
इसका बंद रूप (क्लोज़्ड फ़ॉर्म) है
$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$
यह परिमित आंशिक योग \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) से प्राप्त होता है। जब \(|r| < 1\) हो, तो जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है पद \(r^n\) घटकर 0 की ओर पहुँच जाता है, इसलिए पूरा व्यंजक सिमटकर \(\frac{a}{1 - r}\) रह जाता है। मान्य परास में हर \((1 - r)\) कभी शून्य नहीं होता, क्योंकि उसके लिए \(r = 1\) होना पड़ेगा, जो अभिसरण की शर्त के अनुसार पहले ही बाहर रखा गया है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 1\) और \(r = 0.3\) है। तब
$$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.3} = \frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857143$$
इसी तरह \(a = 2\) और \(r = -0.5\) के लिए (यह एक एकांतर यानी ऑल्टरनेटिंग श्रेणी है),
$$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0.5)} = \frac{2}{1.5} \approx 1.33333333333333$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(-1 < r < 1\) ज़रूरी क्यों है? इस परास के बाहर पद शून्य की ओर सिकुड़ते नहीं हैं, इसलिए आंशिक योग या तो बिना किसी सीमा के बढ़ते रहते हैं (\(r \geq 1\)) या दोलन करते रहते हैं (\(r = -1\)), और कोई परिमित योग नहीं बनता।
क्या पहला पद ऋणात्मक या शून्य हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक \(a\) योग का चिह्न उलट देता है, और \(a = 0\) होने पर किसी भी मान्य अनुपात के लिए योग 0 ही आता है।
क्या मैं भिन्न दर्ज कर सकता हूँ? बिल्कुल — किसी भी खाने में 1/3 जैसे मान टाइप करें, कैलकुलेटर पहले उस भाग की गणना कर लेता है।
