गुणोत्तर श्रेणी का योग क्या होता है?
गुणोत्तर श्रेणी (geometric sequence) संख्याओं की ऐसी सूची है जिसमें हर पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या से गुणा करके मिलता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अनुपात (common ratio, \(r\)) कहते हैं। उदाहरण के लिए, 2, 6, 18, 54 एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a_1 = 2\) और अनुपात \(r = 3\) है। इसके पहले \(n\) पदों के योग को आंशिक योग (partial sum) कहते हैं, जिसे \(S_n\) लिखा जाता है। यह कैलकुलेटर \(a_1\), \(r\) और \(n\) से \(S_n\) को पल भर में निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
बस तीन मान भरिए: पहला पद (\(a_1\)), सार्व अनुपात (\(r\)), और जितने पद जोड़ने हैं उनकी संख्या (\(n\))। कैलकुलेटर आपको कुल योग, अंतिम पद \(a_n\), और कितने पद जोड़े गए — सब बता देगा। यह धनात्मक और ऋणात्मक अनुपात, साथ ही भिन्न और दशमलव मानों — सभी के साथ काम करता है।
सूत्र की पूरी समझ
जब \(r \neq 1\) हो, तो बंद-रूप (closed-form) सूत्र है:
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$इसे ऐसे निकाला जाता है कि पहले योग को लिखते हैं, फिर उसे \(r\) से गुणा करते हैं, और दोनों व्यंजकों को घटा देते हैं — जिससे लगभग सभी पद आपस में कट जाते हैं। जब \(r = 1\) हो, तो हर पद \(a_1\) के बराबर ही होता है, इसलिए योग बस \(S_n = a_1 \times n\) हो जाता है और सामान्य सूत्र यहाँ नहीं चल सकता (क्योंकि उसमें शून्य से भाग आ जाएगा)। यह कैलकुलेटर \(r = 1\) की स्थिति को अपने आप संभाल लेता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a_1 = 2\), \(r = 3\), और \(n = 5\)। तब \(r^{n} = 3^{5} = 243\), इसलिए
$$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$आप पदों को जोड़कर भी जाँच सकते हैं: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\)। अंतिम पद \(a_n = 2 \times 3^{4} = 162\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर अनुपात −1 और 1 के बीच हो तो क्या होगा? किसी भी परिमित \(n\) के लिए यह सूत्र फिर भी काम करता है। यदि \(|r| < 1\) हो और आप अनंत पदों का योग चाहते हैं, तो इसके बजाय \(S = \dfrac{a_1}{1 - r}\) का उपयोग करें।
क्या अनुपात ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक अनुपात से एक बारी-बारी से चिह्न बदलने वाली (alternating) श्रेणी बनती है, और सूत्र इसे सही ढंग से संभालता है।
जब r = 1 हो तब क्या होता है? तब श्रेणी स्थिर रहती है, इसलिए \(S_n = a_1 \times n\)। शून्य से भाग होने से बचने के लिए कैलकुलेटर इस स्थिति को अपने आप पहचान लेता है।
