समुच्चय संघ, सर्वनिष्ठ और अंतर कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

समुच्चय A (अल्पविराम से अलग किए तत्व)

समुच्चय B (अल्पविराम से अलग किए तत्व)

परिणाम

A ∪ B (Union)

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

6 elements

संक्रिया	परिणाम	संख्या
A ∩ B (Intersection)	{ 3, 4 }	2
A − B (Difference)	{ 1, 2 }	2
B − A (Difference)	{ 5, 6 }	2
A ▵ B (Symmetric Difference)	{ 1, 2, 5, 6 }	4
|A|	—	4
|B|	—	4

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल दो परिमित समुच्चयों A और B पर समुच्चय सिद्धांत (set theory) की मुख्य संक्रियाएं करता है। बस प्रत्येक समुच्चय के तत्वों को अल्पविराम से अलग करके लिखें, और यह तुरंत संघ (\(A \cup B\)), सर्वनिष्ठ (\(A \cap B\)), दोनों सापेक्ष अंतर (\(A \setminus B\) और \(B \setminus A\)), तथा सममित अंतर (\(A \, \triangle \, B\)) निकाल देता है — साथ ही हर परिणाम की गणनीयता (cardinality, यानी तत्वों की संख्या) भी बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले बॉक्स में समुच्चय A के तत्व लिखें, जैसे 1, 2, 3, 4, और दूसरे बॉक्स में समुच्चय B के तत्व, जैसे 3, 4, 5, 6। तत्व संख्याएं या शब्द हो सकते हैं। एक ही समुच्चय में दोहराए गए तत्व अपने आप हटा दिए जाते हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार हर तत्व एक समुच्चय में केवल एक बार ही आता है। अल्पविराम के आसपास खाली जगह से कोई फर्क नहीं पड़ता।

सूत्रों की समझ

संघ \(A \cup B\) में वे सभी तत्व आते हैं जो A में या B में हैं। सर्वनिष्ठ \(A \cap B\) में केवल वही तत्व रहते हैं जो दोनों में मौजूद हैं। अंतर \(A \setminus B\) में A के वे तत्व रहते हैं जो B में नहीं हैं, जबकि \(B \setminus A\) इसका उल्टा है। सममित अंतर $$A \, \triangle \, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$ उन तत्वों को इकट्ठा करता है जो दोनों में से ठीक किसी एक समुच्चय में ही हैं।

चार समुच्चय संक्रियाएँ दर्शाई गईं: संघ (\(A \cup B\)), प्रतिच्छेद (\(A \cap B\)), अंतर (\(A \setminus B\)) और सममित अंतर।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) और \(B = \{3, 4, 5, 6\}\)। तब $$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ (6 तत्व), $$A \cap B = \{3, 4\}$$ (2 तत्व), \(A \setminus B = \{1, 2\}\), \(B \setminus A = \{5, 6\}\), और सममित अंतर $$A \, \triangle \, B = \{1, 2, 5, 6\}$$ (4 तत्व)।

तत्व तीन क्षेत्रों में विभाजित: केवल A में, केवल B में, और दोनों में (प्रतिच्छेद)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या तत्वों का क्रम मायने रखता है? नहीं। समुच्चय अनुक्रमित नहीं होते, इसलिए \(\{1, 2\}\) और \(\{2, 1\}\) एक ही हैं।

क्या दोहराए गए तत्व दो बार गिने जाते हैं? नहीं। बार-बार आने वाले तत्व एक ही तत्व में सिमट जाते हैं, इसलिए \(\{1, 1, 2\}\) को \(\{1, 2\}\) माना जाता है।

क्या मैं संख्याओं की जगह शब्द (text) इस्तेमाल कर सकता हूं? हां। तत्वों की तुलना टेक्स्ट के रूप में होती है, इसलिए "apple, banana" बिल्कुल संख्या वाले इनपुट की तरह ही काम करता है — हालांकि तुलना में छोटे-बड़े अक्षर (case) मायने रखते हैं।