حاسبة اتحاد وتقاطع وفرق المجموعات

أدخل الحساب

المجموعة A (عناصر مفصولة بفواصل)

المجموعة B (عناصر مفصولة بفواصل)

نتائج

A ∪ B (Union)

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

6 elements

العملية	النتيجة	العدد
A ∩ B (Intersection)	{ 3, 4 }	2
A − B (Difference)	{ 1, 2 }	2
B − A (Difference)	{ 5, 6 }	2
A ▵ B (Symmetric Difference)	{ 1, 2, 5, 6 }	4
|A|	—	4
|B|	—	4

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تنفّذ هذه الأداة العمليات الأساسية في نظرية المجموعات على مجموعتين منتهيتين، A وB. ما عليك سوى إدراج عناصر كل مجموعة مفصولة بفواصل، لتحصل في الحال على الاتحاد (\(A \cup B\))، والتقاطع (\(A \cap B\))، والفرقين النسبيين (\(A \setminus B\) و\(B \setminus A\))، إضافةً إلى الفرق المتماثل (\(A \, \triangle \, B\))، مع عدد عناصر (القوّة) كل نتيجة.

طريقة الاستخدام

اكتب عناصر المجموعة A في الخانة الأولى، مثلًا 1, 2, 3, 4، وعناصر المجموعة B في الخانة الثانية، مثلًا 3, 4, 5, 6. يمكن أن تكون العناصر أرقامًا أو كلمات. يجري تجاهل العناصر المكرّرة داخل المجموعة الواحدة تلقائيًا، لأن المجموعة بحكم تعريفها تضمّ كل عنصر مرة واحدة فقط. ولا تأثير للمسافات حول الفواصل.

شرح القوانين

يجمع الاتحاد \(A \cup B\) كل عنصر موجود في A أو في B. أما التقاطع \(A \cap B\) فيحتفظ بالعناصر الموجودة في كلتا المجموعتين فقط. ويحتفظ الفرق \(A \setminus B\) بعناصر A الغائبة عن B، بينما يفعل \(B \setminus A\) العكس. أما الفرق المتماثل $$A \, \triangle \, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$ فيجمع العناصر الموجودة في إحدى المجموعتين فقط دون الأخرى.

العمليات الأربع على المجموعات: الاتحاد (\(A \cup B\))، التقاطع (\(A \cap B\))، الفرق (\(A \setminus B\)) والفرق المتماثل.

مثال محلول

لتكن \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) وB = \(\{3, 4, 5, 6\}\). عندئذٍ $$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ (٦ عناصر)، و$$A \cap B = \{3, 4\}$$ (عنصران)، و\(A \setminus B = \{1, 2\}\)، و\(B \setminus A = \{5, 6\}\)، والفرق المتماثل $$A \, \triangle \, B = \{1, 2, 5, 6\}$$ (٤ عناصر).

العناصر مقسَّمة إلى ثلاث مناطق: في A فقط، في B فقط، وفي كليهما (التقاطع).

الأسئلة الشائعة

هل يهمّ ترتيب العناصر؟ لا. فالمجموعات غير مرتّبة، لذا فإن \(\{1, 2\}\) و\(\{2, 1\}\) متطابقتان.

هل تُحسب العناصر المكرّرة مرتين؟ لا. تُختزل العناصر المتكرّرة إلى عنصر واحد، فتُعامل \(\{1, 1, 2\}\) على أنها \(\{1, 2\}\).

هل يمكنني استخدام نصوص بدل الأرقام؟ نعم. تُطابَق العناصر باعتبارها نصوصًا، لذا تعمل "apple, banana" تمامًا كما تعمل المدخلات الرقمية — مع مراعاة أن المقارنة حسّاسة لحالة الأحرف.