ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة مجموع مكعّبات أول n عدد، أي \(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}\). وبدلًا من جمع كل حدّ على حِدة، تعتمد على متطابقة مختصرة شهيرة تمنحك النتيجة الدقيقة في لحظة واحدة، مهما كانت قيمة n كبيرة.
طريقة الاستخدام
أدخل عددًا صحيحًا موجبًا يمثّل عدد الحدود n، ثم اقرأ النتيجة. كما تعرض الحاسبة العدد المثلّثي الأساسي \(\frac{n(n+1)}{2}\) حتى تتمكّن من فهم كيفية بناء الإجابة.
شرح القانون
النتيجة الجوهرية هنا هي متطابقة نيكوماخوس:
$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2}$$
والمدهش أن مجموع مكعّبات أول n عدد يساوي تمامًا مربّع مجموع أول n عدد صحيح. والمقدار الداخلي \(\frac{n(n+1)}{2}\) هو العدد المثلّثي رقم n، أي \(T(n)\). ومن ثمّ فإن مجموع المكعّبات هو ببساطة مربّع \(T(n)\). هذا يجعل الحساب بزمن ثابت \(O(1)\) بدلًا من الحاجة إلى حلقة تكرار، ويبقى دقيقًا دائمًا مع المدخلات الصحيحة.
مثال محلول
عند \(n = 4\): يكون العدد المثلّثي \(\frac{4 \times 5}{2} = 10\). وبتربيعه نحصل على \(10^{2} = 100\). وللتحقق المباشر: \(1 + 8 + 27 + 64 = 100\). النتيجتان متطابقتان، وهذا يؤكّد صحّة المتطابقة.
الأسئلة الشائعة
هل تعمل مع الأعداد الصحيحة فقط؟ نعم — تنطبق المتطابقة على المجموع للحدود الصحيحة من \(k = 1\) إلى \(n\)، لذا يجب أن تكون n عددًا صحيحًا موجبًا.
لماذا تكون النتيجة دائمًا مربّعًا كاملًا؟ لأن المجموع يساوي \(T(n)^{2}\)، حيث \(T(n)\) هو العدد المثلّثي رقم n؛ وتربيع أي عدد صحيح يعطي دائمًا مربّعًا كاملًا.
هل يمكن أن تكون n كبيرة جدًا؟ نعم. وبما أن القانون مختصر ومغلق الصيغة، فإن القيم الكبيرة تُحسب فورًا، غير أن القيم الضخمة للغاية قد تتجاوز دقّة الفاصلة العائمة المعتادة.
