처음 n개 세제곱의 합 계산기

계산 입력

항의 개수 (n)

결과

Sum of the first 10 cubes

3,025

Σ k³ for k = 1 to 10

항의 개수 (n)	10
삼각수 n(n+1)/2	55
항등식	(n(n+1)/2)²

이 계산기는 무엇을 하나요

이 도구는 처음 n개의 완전세제곱수의 합, 즉 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3\)을 계산합니다. 모든 항을 하나씩 더하는 대신, 유명한 닫힌 공식(closed-form)을 사용해 n이 아무리 커도 정확한 답을 즉시 구해줍니다.

사용 방법

항의 개수 n에 양의 정수를 입력하면 결과가 바로 표시됩니다. 또한 답이 어떻게 만들어지는지 알 수 있도록 그 바탕이 되는 삼각수 \(n(n+1)/2\)도 함께 보여줍니다.

공식 설명

핵심이 되는 결과는 니코마코스 항등식(Nicomachus identity)입니다.

$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left( \frac{n\left(n+1\right)}{2} \right)^{2}$$

놀랍게도 처음 n개 세제곱의 합은 처음 n개 정수의 합을 제곱한 값과 정확히 같습니다. 안쪽의 \(n(n+1)/2\)는 n번째 삼각수 \(T(n)\)이므로, 세제곱의 합은 곧 \(T(n)\)을 제곱한 값입니다. 덕분에 반복 계산 없이 \(O(1)\)로 처리할 수 있으며, 정수 입력에 대해 항상 정확한 값을 줍니다.

처음 n개 세제곱수의 합은 n번째 삼각수의 제곱 \(\left(n(n+1)/2\right)^2\)과 같다.

예제 풀이

n = 4인 경우: 삼각수는 \(4\times 5/2 = 10\)입니다. 이를 제곱하면 \(10^2 = 100\)이 됩니다. 직접 더해서 확인해 보면 \(1 + 8 + 27 + 64 = 100\)으로 일치하므로, 항등식이 성립함을 알 수 있습니다.

자주 묻는 질문

정수에 대해서만 작동하나요? 네 — 이 항등식은 k = 1부터 n까지 정수 항에 대한 합에 적용되므로, n은 양의 정수여야 합니다.

왜 답은 항상 완전제곱수인가요? 합이 \(T(n)^2\)과 같기 때문입니다. 여기서 \(T(n)\)은 n번째 삼각수이며, 정수를 제곱하면 항상 완전제곱수가 됩니다.

n이 아주 커도 되나요? 네. 닫힌 공식이므로 n이 커도 즉시 계산됩니다. 다만 값이 지나치게 크면 일반적인 부동소수점 정밀도를 넘어설 수 있습니다.