세제곱의 합과 차란?
대수에서 가장 활용도가 높은 항등식 두 가지가 바로 세제곱의 합과 세제곱의 차입니다. 이 두 공식을 이용하면 \(a^3 \pm b^3\) 꼴의 식을 간단한 일차 인수와 이차 삼항식의 곱으로 바꿔 쓸 수 있습니다. 이 계산기는 두 연산 모두에 대해 어떤 a, b 값이든 인수분해해 주고, 모든 중간 계산 결과를 보여 주므로 직접 푼 과정을 확인하기에도 좋습니다.
공식
두 항등식은 다음과 같습니다.
세제곱의 합:
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$세제곱의 차:
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$부호를 외우는 요령으로 영어권에서는 "SOAP"라는 약어를 씁니다. 인수분해한 식의 부호가 Same(같음), Opposite(반대), Always Positive(항상 양수)라는 뜻이죠. 즉 첫 번째 부호는 원래 식과 같고, 가운데 부호는 반대이며, 마지막 항은 언제나 양수입니다.
계산기 사용법
첫 번째 항 a와 두 번째 항 b를 입력하고, 합을 인수분해할지 차를 인수분해할지 선택하면 됩니다. 그러면 계산기가 일차 인수 \((a \pm b)\), 삼항식 인수 \((a^2 \mp ab + b^2)\), 그리고 전체 식의 수치 값을 돌려줍니다. 분해 표에는 \(a^3\), \(b^3\), \(a^2\), \(ab\), \(b^2\)가 각각 따로 정리되어 표시됩니다.
예제 풀이
8 + 27을 세제곱의 합으로 인수분해해 봅시다. 여기서 \(2^3 = 8\)이므로 \(a = 2\), \(3^3 = 27\)이므로 \(b = 3\)입니다. 그러면 $$a^3 + b^3 = (2 + 3)(2^2 - 2\cdot 3 + 3^2) = (5)(4 - 6 + 9) = 5 \times 7 = 35$$가 되고, 이는 \(8 + 27 = 35\)와 정확히 일치합니다. 일차 인수는 5, 삼항식 인수는 7입니다.
자주 묻는 질문
삼항식을 더 인수분해할 수 있나요? 대개는 불가능합니다. 이차식 \(a^2 \mp ab + b^2\)는 대부분의 경우 정수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않는 기약식입니다.
a나 b가 변수이면 어떻게 되나요? 항등식은 기호 형태로도 그대로 성립합니다. 이 도구는 수치 값을 계산하므로 인수분해가 맞는지 검증하는 용도로 쓸 수 있습니다.
음수나 소수도 사용할 수 있나요? 네. a와 b에는 어떤 실수든 입력할 수 있습니다.
