최적의 직선이란?
최적의 직선은 회귀직선이라고도 하며, 데이터 점들과의 세로 방향 거리 제곱의 합을 최소로 만드는 직선 \(y = mx + b\)를 뜻합니다. 독립변수(x)와 종속변수(y) 사이의 관계를 한 줄로 요약해 주기 때문에, 추세를 설명하거나 값을 예측하는 데 유용합니다. 이 계산기는 통계학 교과서에서 가르치는 표준 방식이자 과학·금융·공학 전반에서 쓰이는 보통최소제곱법(OLS)을 사용합니다.
계산기 사용법
X 값과 Y 값을 쉼표 또는 공백으로 구분해 입력하세요. 각 X에 대응하는 Y가 같은 순서에 오도록 맞춰야 합니다 — 계산기는 입력 순서대로 두 값을 짝지어 처리합니다. 계산 버튼을 누르면 기울기(m), y절편(b), 전체 회귀식, 상관계수(r), 그리고 R²(결정계수, y의 변동 중 x로 설명되는 비율)을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
데이터 점이 \(n\)개일 때 기울기는
$$m = \frac{n\sum xy - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$이고, 절편은
$$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$입니다. 여기서 \(\sum xy\)는 각 x와 짝지은 y를 곱한 값의 합, \(\sum x^{2}\)은 x 값을 제곱한 합, \(\sum x\)와 \(\sum y\)는 각각의 단순 합입니다. 이 식들은 오차제곱 함수를 미분해 0으로 두는 과정에서 나옵니다.
예제로 살펴보기
X = 1, 2, 3, 4, 5이고 Y = 2, 4, 5, 4, 5인 경우: \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^{2} = 55\)입니다. 기울기
$$m = \frac{5\cdot 66 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{330 - 300}{275 - 225} = \frac{30}{50} = 0.6$$절편
$$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$따라서 최적의 직선은 \(y = 0.6x + 2.2\)입니다.
자주 묻는 질문
R²은 무엇을 의미하나요? R²은 0에서 1 사이의 값으로, y의 분산 중 선형 관계로 설명되는 비율을 나타냅니다. R²이 0.9라면 변동의 90%를 이 직선이 설명한다는 뜻입니다.
점들이 수직으로 늘어서 있으면 어떻게 되나요? 모든 x 값이 같으면 기울기가 정의되지 않습니다(0으로 나누기). 이 경우 수직이 아닌 단일 직선으로는 데이터를 맞출 수 없으므로 계산기는 0을 반환합니다.
X와 Y의 개수가 같아야 하나요? 네 — 두 값은 순서에 따라 짝지어집니다. 끝에 짝이 없는 값이 남으면 무시됩니다.
