¿Qué es la recta de mejor ajuste?
La recta de mejor ajuste, también conocida como recta de regresión lineal, es la línea recta \(y = mx + b\) que minimiza la suma de las distancias verticales al cuadrado entre la propia recta y un conjunto de puntos de datos. Resume la relación entre una variable independiente (x) y una variable dependiente (y), lo que te permite describir tendencias y hacer predicciones. Esta calculadora aplica el método de mínimos cuadrados ordinarios, el enfoque estándar que se enseña en estadística y que se utiliza en ciencia, finanzas e ingeniería.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tus valores de X y de Y como listas separadas por comas o espacios. Asegúrate de que cada X tenga su Y correspondiente en la misma posición, ya que la calculadora los empareja según el orden. Pulsa calcular para obtener la pendiente (m), la intersección con el eje y (b), la ecuación completa, el coeficiente de correlación (r) y R² (el coeficiente de determinación, que indica qué fracción de la variación de y queda explicada por x).
La fórmula, paso a paso
Con \(n\) puntos de datos, la pendiente es $$m = \frac{n\sum xy - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ y la intersección es $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}.$$ Aquí \(\sum xy\) es la suma de cada x multiplicada por su y emparejada, \(\sum x^{2}\) es la suma de los valores de x al cuadrado, y \(\sum x\) y \(\sum y\) son las sumas simples. Estas expresiones se obtienen al igualar a cero las derivadas de la función de error cuadrático.
Ejemplo resuelto
Para X = 1, 2, 3, 4, 5 e Y = 2, 4, 5, 4, 5: \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^{2} = 55\). Pendiente $$m = \frac{5\cdot 66 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{330 - 300}{275 - 225} = \frac{30}{50} = 0{,}6.$$ Intersección $$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2.$$ Por tanto, la recta de mejor ajuste es \(y = 0{,}6x + 2{,}2\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa R²? R² toma valores entre 0 y 1 y representa la proporción de la varianza de y que explica la relación lineal. Un R² de 0,9 indica que la recta capta el 90 % de la variación.
¿Y si mis puntos están alineados verticalmente? Si todos los valores de x son idénticos, la pendiente queda indefinida (división por cero); en ese caso la calculadora devuelve cero, ya que ninguna recta que no sea vertical puede ajustarse a los datos.
¿X e Y deben tener la misma cantidad de valores? Sí, los pares se emparejan por posición. Los valores sobrantes sin pareja al final se ignoran.
