Đường hồi quy tuyến tính là gì?
Đường hồi quy tuyến tính (hay còn gọi là đường thẳng phù hợp nhất) là đường thẳng \(y = mx + b\) sao cho tổng bình phương khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đường thẳng và tập hợp các điểm dữ liệu là nhỏ nhất. Nó tóm tắt mối quan hệ giữa một biến độc lập (x) và một biến phụ thuộc (y), giúp bạn mô tả xu hướng và đưa ra dự đoán. Máy tính này sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu thông thường (OLS) — phương pháp chuẩn được giảng dạy trong thống kê và ứng dụng rộng rãi trong khoa học, tài chính và kỹ thuật.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập các giá trị X và giá trị Y dưới dạng danh sách cách nhau bằng dấu phẩy hoặc dấu cách. Lưu ý mỗi giá trị X phải có một giá trị Y tương ứng ở cùng vị trí — máy tính sẽ ghép cặp chúng theo thứ tự. Nhấn nút tính toán để nhận hệ số góc (m), hệ số chặn (b), phương trình đầy đủ, hệ số tương quan (r) và R² (hệ số xác định, cho biết bao nhiêu phần biến thiên của y được giải thích bởi x).
Giải thích công thức
Với n điểm dữ liệu, hệ số góc là $$m = \frac{n\sum xy - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ và hệ số chặn là $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ Trong đó \(\sum xy\) là tổng của tích mỗi x với giá trị y tương ứng, \(\sum x^{2}\) là tổng bình phương các giá trị x, còn \(\sum x\) và \(\sum y\) là tổng đơn giản của các giá trị. Các công thức này được suy ra bằng cách cho đạo hàm của hàm sai số bình phương bằng không.
Ví dụ minh họa
Với X = 1, 2, 3, 4, 5 và Y = 2, 4, 5, 4, 5: \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^{2} = 55\). Hệ số góc $$m = \frac{5 \cdot 66 - 15 \cdot 20}{5 \cdot 55 - 15^{2}} = \frac{330 - 300}{275 - 225} = \frac{30}{50} = 0{,}6$$ Hệ số chặn $$b = \frac{20 - 0{,}6 \cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2$$ Vậy đường hồi quy tuyến tính là \(y = 0{,}6x + 2{,}2\).
Câu hỏi thường gặp
R² có ý nghĩa gì? R² nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và cho biết tỷ lệ phương sai của y được giải thích bởi mối quan hệ tuyến tính. R² bằng 0,9 nghĩa là 90% biến thiên được mô tả bởi đường thẳng.
Nếu các điểm của tôi nằm theo phương thẳng đứng thì sao? Nếu tất cả các giá trị x đều bằng nhau, hệ số góc không xác định (chia cho 0); trong trường hợp này máy tính trả về giá trị 0 vì không có đường thẳng không thẳng đứng nào phù hợp.
X và Y có cần cùng số lượng không? Có — các cặp được ghép theo vị trí. Những giá trị thừa không ghép được ở cuối sẽ bị bỏ qua.
