En İyi Uyum Doğrusu Nedir?
Doğrusal regresyon doğrusu olarak da bilinen en iyi uyum doğrusu, kendisi ile bir veri noktası kümesi arasındaki toplam dikey uzaklığın karesini en aza indiren \(y = mx + b\) biçimindeki düz doğrudur. Bağımsız değişken (x) ile bağımlı değişken (y) arasındaki ilişkiyi özetler; böylece eğilimleri tanımlamanıza ve tahminler yapmanıza olanak tanır. Bu hesaplayıcı, istatistik derslerinde öğretilen ve fen bilimlerinden finansa, mühendislikten araştırmaya kadar yaygın olarak kullanılan standart yöntem olan sıradan en küçük kareler yöntemini kullanır.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
X değerlerinizi ve Y değerlerinizi virgül ya da boşlukla ayırarak listeler hâlinde girin. Her X değerinin aynı sıradaki bir Y değeriyle eşleştiğinden emin olun — hesaplayıcı bunları sıraya göre eşleştirir. Hesapla düğmesine tıkladığınızda eğimi (m), y-kesişimini (b), tam denklemi, korelasyon katsayısını (r) ve R² değerini (belirleme katsayısı; y'deki değişimin ne kadarlık bir kısmının x ile açıklandığını gösterir) elde edersiniz.
Formülün Açıklaması
n veri noktası için eğim $$m = \frac{n\sum xy - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ ve kesişim $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ şeklinde hesaplanır. Burada \(\sum xy\), her x değerinin eşleştiği y ile çarpımlarının toplamı; \(\sum x^{2}\), x değerlerinin karelerinin toplamı; \(\sum x\) ve \(\sum y\) ise basit toplamlardır. Bu ifadeler, kare hata fonksiyonunun türevlerinin sıfıra eşitlenmesinden elde edilir.
Çözümlü Örnek
X = 1, 2, 3, 4, 5 ve Y = 2, 4, 5, 4, 5 için: \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^{2} = 55\). Eğim $$m = \frac{5\cdot 66 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{330 - 300}{275 - 225} = \frac{30}{50} = 0{,}6.$$ Kesişim $$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2.$$ Dolayısıyla en iyi uyum doğrusu \(y = 0{,}6x + 2{,}2\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
R² ne anlama gelir? R² değeri 0 ile 1 arasında değişir ve y'deki varyansın doğrusal ilişkiyle açıklanan oranını verir. 0,9'luk bir R², değişimin %90'ının doğru tarafından yakalandığı anlamına gelir.
Noktalarım dikey ise ne olur? Tüm x değerleri birbirinin aynıysa eğim tanımsızdır (sıfıra bölme); böyle bir durumda dikey olmayan tek bir doğru veriye uyamayacağı için hesaplayıcı sıfır döndürür.
X ve Y'nin sayıları eşit olmalı mı? Evet — çiftler konuma göre eşleştirilir. Sonda eşleşmeden kalan fazla değerler yok sayılır.
