回帰直線（近似直線）とは？
回帰直線（近似直線、線形回帰の直線とも呼ばれます）とは、データ点との縦方向の距離の二乗和が最小になるように引かれる直線 \(y = mx + b\) のことです。説明変数（x）と目的変数（y）の関係を一本の直線で要約し、傾向の把握や予測に役立てることができます。本ツールは統計学で標準的に教えられ、自然科学・金融・工学など幅広い分野で使われている「最小二乗法（OLS）」を採用しています。
このツールの使い方
X の値と Y の値を、カンマまたはスペースで区切って入力します。それぞれの X と Y は入力した順番でペアになるため、同じ位置に対応する値が並ぶように注意してください。「計算」を押すと、傾き（m）、y切片（b）、完成した直線の式、相関係数（r）、そして決定係数 R²（y のばらつきのうち x で説明できる割合）が表示されます。
計算式の解説
データ点が \(n\) 個あるとき、傾きは $$m = \frac{n\sum xy - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$、切片は $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ で求められます。ここで \(\sum xy\) は各 x とそのペアの y を掛けた値の総和、\(\sum x^{2}\) は x を二乗した値の総和、\(\sum x\) と \(\sum y\) はそれぞれ単純な合計です。これらの式は、誤差の二乗和を最小にするために微分して 0 とおくことで導かれます。
計算例
X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5 の場合：\(n = 5\)、\(\sum x = 15\)、\(\sum y = 20\)、\(\sum xy = 66\)、\(\sum x^{2} = 55\) となります。傾き $$m = \frac{5\cdot 66 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{330 - 300}{275 - 225} = \frac{30}{50} = 0.6$$。切片 $$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$。したがって近似直線は \(y = 0.6x + 2.2\) となります。
よくある質問
R² は何を表していますか？ R² は 0 から 1 の範囲をとり、y のばらつき（分散）のうち直線関係で説明できる割合を示します。R² が 0.9 であれば、ばらつきの 90% を直線で説明できているということです。
点が縦一直線に並んでいる場合は？ すべての x の値が同じだと傾きは定義できず（ゼロ除算になります）、この場合は当てはまる非垂直な直線が存在しないため、本ツールはゼロを返します。
X と Y の個数は同じである必要がありますか？ はい。値は位置（順番）でペアになります。末尾で対にならず余った値は無視されます。
