Qu'est-ce que la droite d'ajustement ?
La droite d'ajustement, aussi appelée droite de régression linéaire, est la droite \(y = mx + b\) qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre la droite elle-même et un ensemble de points de données. Elle résume la relation entre une variable indépendante (\(x\)) et une variable dépendante (\(y\)), ce qui permet de dégager des tendances et de faire des prédictions. Ce calculateur s'appuie sur la méthode des moindres carrés ordinaires, l'approche de référence enseignée en statistique et utilisée aussi bien en sciences qu'en finance et en ingénierie.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos valeurs X et vos valeurs Y sous forme de listes séparées par des virgules ou des espaces. Veillez à ce que chaque X corresponde à un Y placé à la même position : le calculateur les associe selon leur ordre. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir la pente (\(m\)), l'ordonnée à l'origine (\(b\)), l'équation complète, le coefficient de corrélation (\(r\)) et le R² (coefficient de détermination, qui indique la part de la variation de \(y\) expliquée par \(x\)).
La formule expliquée
Avec \(n\) points de données, la pente vaut $$m = \frac{n\sum xy - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ et l'ordonnée à l'origine vaut $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}.$$ Ici, \(\sum xy\) est la somme de chaque \(x\) multiplié par le \(y\) qui lui est associé, \(\sum x^{2}\) est la somme des carrés des valeurs de \(x\), tandis que \(\sum x\) et \(\sum y\) sont les sommes simples. Ces expressions s'obtiennent en annulant les dérivées de la fonction d'erreur quadratique.
Exemple résolu
Pour X = 1, 2, 3, 4, 5 et Y = 2, 4, 5, 4, 5 : \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 66\), \(\sum x^{2} = 55\). Pente $$m = \frac{5\cdot 66 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{330 - 300}{275 - 225} = \frac{30}{50} = 0{,}6.$$ Ordonnée à l'origine $$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2.$$ La droite d'ajustement est donc $$y = 0{,}6x + 2{,}2.$$
FAQ
Que signifie le R² ? Le R² est compris entre 0 et 1 et indique la proportion de la variance de \(y\) expliquée par la relation linéaire. Un R² de 0,9 signifie que 90 % de la variation est captée par la droite.
Que se passe-t-il si mes points sont alignés à la verticale ? Si toutes les valeurs de \(x\) sont identiques, la pente est indéfinie (division par zéro) ; dans ce cas, le calculateur renvoie zéro, car aucune droite non verticale ne peut s'ajuster aux points.
Faut-il le même nombre de X et de Y ? Oui : les couples sont formés selon leur position. Les valeurs excédentaires sans correspondance, en fin de liste, sont ignorées.
