¿Qué es la distancia de un punto a una recta?
La distancia perpendicular de un punto a una recta es la longitud del segmento más corto que une el punto con la recta, medido siguiendo una trayectoria perpendicular a ella. Dada una recta escrita en forma general \(ax + by + c = 0\) y un punto \((x_0, y_0)\), esta calculadora te devuelve esa distancia mínima al instante. Se trata de una herramienta esencial en geometría analítica, gráficos por computadora, planificación de trayectorias en robótica y física.
Cómo usar la calculadora
Introduce los tres coeficientes a, b y c de tu recta en forma general. Si tu recta viene dada como \(y = mx + k\), reescríbela como \(mx - y + k = 0\), de modo que \(a = m\), \(b = -1\) y \(c = k\). A continuación, escribe las coordenadas del punto, \(x_0\) e \(y_0\). El resultado muestra la distancia perpendicular en valor absoluto, además del valor con signo, que te indica en qué lado de la recta se encuentra el punto (positivo o negativo).
La fórmula explicada
La fórmula $$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ funciona sustituyendo el punto en la ecuación de la recta. Si el punto estuviera sobre la recta, \(ax_0 + by_0 + c\) valdría cero. Cuanto más alejado esté de la recta, mayor será ese valor. Al dividir entre \(\sqrt{a^2 + b^2}\) —el módulo del vector normal \((a, b)\)— el resultado queda normalizado en unidades reales de distancia.
Ejemplo resuelto
Para la recta \(3x + 4y - 5 = 0\) y el punto \((1, 2)\): numerador \(= |3\cdot 1 + 4\cdot 2 - 5| = |3 + 8 - 5| = 6\). Denominador \(= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Por tanto, $$d = \frac{6}{5} = 1{,}2 \text{ unidades}.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a y b valen cero a la vez? En ese caso no existe una recta válida y la distancia queda indefinida; la calculadora devuelve 0 para evitar dividir entre cero.
¿Qué significa la distancia con signo? Su signo indica en qué lado de la recta está el punto, algo muy útil para pruebas de orientación y comprobaciones de semiplanos.
¿Sirve para rectas horizontales o verticales? Sí. Una recta vertical \(x = k\) se escribe \(x - 0\cdot y - k = 0\) (\(a=1\), \(b=0\), \(c=-k\)); una recta horizontal \(y = k\) es \(0\cdot x + y - k = 0\).
