Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia más corta (perpendicular) desde un punto (x₀, y₀) hasta una recta expresada en su forma general ax + by + c = 0. La distancia mínima siempre se mide a lo largo de la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta, y es un único número positivo expresado en las mismas unidades que tus coordenadas. Se trata de una herramienta puramente geométrica, así que funciona con cualquier sistema de coordenadas o unidad.
Cómo utilizarla
Primero escribe tu recta en forma general. Si la tienes en forma explícita (pendiente-ordenada) y = mx + k, reordénala como mx − y + k = 0, de modo que a = m, b = −1 y c = k. Introduce los coeficientes a, b y c, y después las coordenadas del punto x₀ e y₀. Pulsa calcular para ver la distancia perpendicular, la distancia con signo (que conserva el signo) y el valor de \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).
La fórmula explicada
La recta ax + by + c = 0 tiene al vector (a, b) como dirección normal. La expresión a·x₀ + b·y₀ + c indica cuánto se aleja el punto a lo largo de esa normal, pero está escalada por la longitud del vector normal. Al dividir entre \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) normalizamos el valor para que el resultado sea una distancia real. Tomando el valor absoluto obtenemos la distancia perpendicular sin signo:
$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
Ejemplo resuelto
Recta: 3x + 4y − 5 = 0, por lo que a = 3, b = 4, c = −5. Punto: (0, 0). Numerador = \(|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\). Denominador = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Distancia = \(5 / 5 =\) 1.
$$d = \frac{\left| 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5 \right|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{5}{5} = 1$$Preguntas frecuentes
¿Qué significa la distancia con signo? Un valor con signo positivo o negativo te indica en qué lado de la recta se encuentra el punto; los puntos situados en lados opuestos tienen signos contrarios.
¿Y si a y b son ambos cero? Entonces ax + by + c = 0 no representa una recta válida y la distancia no está definida: la calculadora devuelve 0 para evitar dividir entre cero.
¿Puedo usarla en 3D? No, esta fórmula sirve para un punto y una recta en el plano 2D. La distancia de un punto a una recta en 3D se calcula con una fórmula basada en el producto vectorial.
