이 계산기의 기능
이 도구는 점 (x₀, y₀)에서 일반형 ax + by + c = 0으로 표현된 직선까지의 최단(수직) 거리를 구합니다. 최단 거리는 항상 점에서 직선에 내린 수선을 따라 측정되며, 좌표와 같은 단위로 표현되는 하나의 양수 값입니다. 순수한 기하학 도구이므로 어떤 좌표계나 단위에서도 그대로 사용할 수 있습니다.
사용 방법
먼저 직선을 일반형으로 정리하세요. 기울기-절편 형태인 \(y = mx + k\)라면 \(mx - y + k = 0\)으로 바꾸면 됩니다. 이때 \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\)가 됩니다. 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력한 다음 점의 좌표 \(x_0\)와 \(y_0\)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 수직 거리, 부호가 유지된 부호 거리(signed distance), 그리고 \(\sqrt{a^2 + b^2}\) 값을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
직선 \(ax + by + c = 0\)에서 벡터 \((a, b)\)는 법선 방향을 나타냅니다. 식 \(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c\)는 점이 그 법선 방향을 따라 얼마나 떨어져 있는지를 나타내지만, 법선 벡터의 길이만큼 비례 확대된 값입니다. 이를 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)로 나누면 정규화되어 진짜 거리가 됩니다. 절댓값을 취하면 부호 없는 수직 거리를 얻습니다:
$$d = \frac{\left| \text{a} \cdot \text{x}_0 + \text{b} \cdot \text{y}_0 + \text{c} \right|}{\sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2}}}$$
계산 예시
직선: \(3x + 4y - 5 = 0\)이므로 \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -5\). 점: \((0, 0)\). 분자 \(= |3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\). 분모 \(= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). 거리 \(= 5 / 5 =\) 1.
자주 묻는 질문
부호 거리(signed distance)는 무엇을 의미하나요? 양수 또는 음수의 부호 값은 점이 직선의 어느 쪽에 있는지를 알려줍니다. 직선을 기준으로 반대편에 있는 점들은 서로 반대 부호를 가집니다.
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 그 경우 \(ax + by + c = 0\)은 유효한 직선이 아니므로 거리는 정의되지 않습니다. 계산기는 0으로 나누는 것을 피하기 위해 0을 반환합니다.
3차원에서도 사용할 수 있나요? 아니요, 이 공식은 2차원 평면에서 점과 직선에 대한 것입니다. 3차원에서 점과 직선 사이의 거리는 외적(cross product)을 이용한 공식을 사용합니다.
