À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine la distance la plus courte — c'est-à-dire la distance perpendiculaire — entre un point (x₀, y₀) et une droite écrite sous sa forme générale ax + by + c = 0. Cette plus courte distance se mesure toujours le long de la perpendiculaire abaissée du point vers la droite : il s'agit d'un nombre unique, toujours positif, exprimé dans la même unité que vos coordonnées. C'est un outil purement géométrique, qui fonctionne donc avec n'importe quel système de coordonnées ou unité de mesure.
Comment l'utiliser
Commencez par écrire votre droite sous forme générale. Si vous disposez de l'équation réduite y = mx + k, réorganisez-la en mx − y + k = 0 : vous obtenez ainsi a = m, b = −1 et c = k. Saisissez les coefficients a, b et c, puis les coordonnées x₀ et y₀ du point. Lancez le calcul pour afficher la distance perpendiculaire, la distance signée (qui conserve le signe) ainsi que la valeur de \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
La formule expliquée
La droite ax + by + c = 0 admet le vecteur (a, b) pour direction normale. L'expression a·x₀ + b·y₀ + c indique la position du point le long de cette normale, mais cette mesure est mise à l'échelle par la longueur du vecteur normal. En divisant par \(\sqrt{a^2 + b^2}\), on normalise le résultat pour obtenir une véritable distance. La valeur absolue donne alors la distance perpendiculaire non signée :
$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
Exemple résolu
Droite : 3x + 4y − 5 = 0, donc a = 3, b = 4, c = −5. Point : (0, 0). Numérateur = \(|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\). Dénominateur = \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Distance = $$\frac{5}{5} = \mathbf{1}.$$
FAQ
Que signifie la distance signée ? Une valeur signée positive ou négative indique de quel côté de la droite se trouve le point : deux points situés de part et d'autre de la droite portent des signes opposés.
Et si a et b sont tous les deux nuls ? Dans ce cas, ax + by + c = 0 ne définit pas une droite valide et la distance n'existe pas : le calculateur renvoie 0 pour éviter une division par zéro.
Puis-je l'utiliser en 3D ? Non, cette formule s'applique à un point et à une droite dans le plan (2D). Pour calculer la distance d'un point à une droite dans l'espace (3D), on utilise plutôt une formule faisant intervenir le produit vectoriel.
