यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी बिंदु (x₀, y₀) से सामान्य रूप ax + by + c = 0 में लिखी गई सीधी रेखा तक की सबसे छोटी (लंबवत) दूरी निकालता है। सबसे छोटी दूरी हमेशा उस लंब के साथ नापी जाती है जो बिंदु से रेखा पर गिराया जाता है, और यह एक ही धनात्मक संख्या होती है जो आपके निर्देशांकों (coordinates) की इकाई में ही मिलती है। यह कैलकुलेटर शुद्ध ज्यामिति पर आधारित है, इसलिए यह किसी भी निर्देशांक प्रणाली या इकाई के लिए काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले अपनी रेखा को सामान्य रूप में लिखें। अगर आपके पास ढाल-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) y = mx + k है, तो उसे mx − y + k = 0 के रूप में बदल लें, जिससे a = m, b = −1 और c = k हो जाएगा। अब गुणांक a, b और c भरें, फिर बिंदु के निर्देशांक x₀ और y₀ दर्ज करें। गणना करें (calculate) बटन दबाते ही आपको लंबवत दूरी, चिह्नित दूरी (signed distance, जो चिह्न बनाए रखती है) और \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) का मान दिखाई देगा।
सूत्र को समझें
रेखा ax + by + c = 0 के लिए सदिश (a, b) उसकी अभिलंब दिशा (normal direction) होती है। व्यंजक a·x₀ + b·y₀ + c यह बताता है कि बिंदु उस अभिलंब के साथ कितनी दूर है, लेकिन यह अभिलंब सदिश की लंबाई के अनुपात में बढ़ा-घटा होता है। इसे \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) से भाग देने पर यह सामान्यीकृत हो जाता है, जिससे परिणाम एक सही दूरी बन जाती है। निरपेक्ष मान (absolute value) लेने पर हमें चिह्न-रहित लंबवत दूरी मिलती है:
$$d = \frac{\left| \text{a} \cdot \text{x}_0 + \text{b} \cdot \text{y}_0 + \text{c} \right|}{\sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2}}}$$
हल किया हुआ उदाहरण
रेखा: 3x + 4y − 5 = 0, यानी a = 3, b = 4, c = −5। बिंदु: (0, 0)। अंश = \(|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\)। हर = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)। दूरी = \(5 / 5 =\) 1।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
चिह्नित दूरी (signed distance) का क्या मतलब है? धनात्मक या ऋणात्मक चिह्नित मान बताता है कि बिंदु रेखा के किस ओर स्थित है; विपरीत दिशाओं में मौजूद बिंदुओं के चिह्न आपस में उलटे होते हैं।
अगर a और b दोनों शून्य हों तो क्या होगा? ऐसी स्थिति में ax + by + c = 0 एक मान्य रेखा नहीं रह जाती और दूरी अपरिभाषित हो जाती है — शून्य से भाग देने से बचने के लिए कैलकुलेटर 0 लौटा देता है।
क्या मैं इसे 3D में इस्तेमाल कर सकता हूँ? नहीं, यह सूत्र केवल 2D तल में बिंदु और रेखा के लिए है। 3D में किसी बिंदु से रेखा की दूरी के लिए सदिश गुणनफल (cross-product) वाला सूत्र इस्तेमाल होता है।
