यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी बिंदु का किसी सीधी रेखा पर दर्पण प्रतिबिंब (reflection) निकालता है। आप कोई भी बिंदु (x, y) और सामान्य रूप \(ax + by + c = 0\) में लिखी कोई भी रेखा दीजिए, और यह आपको प्रतिबिंबित बिंदु (x', y') लौटा देता है — वह बिंदु जो रेखा के दूसरी ओर, उतनी ही लंबवत दूरी पर स्थित होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले अपने बिंदु के निर्देशांक भरें, फिर अपनी रेखा के तीन गुणांक a, b और c दर्ज करें। अगर आपकी रेखा ढाल रूप यानी y = mx + k में है, तो उसे mx − y + k = 0 के रूप में फिर से लिखें, ताकि \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\) हो जाए। ऊर्ध्वाधर रेखा x = 5 को 1·x + 0·y − 5 = 0 के रूप में लिखा जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
चिह्नित मान d = (ax + by + c) / (a² + b²) यह मापता है कि बिंदु रेखा से कितनी दूर बैठा है, और इसे रेखा के गुणांकों के अनुसार मापा जाता है। अभिलंब सदिश (normal vector) (a, b) की दिशा में इस दूरी का दोगुना पीछे जाने पर आप ठीक दर्पण प्रतिबिंब पर पहुँच जाते हैं:
$$(x', y') = \left(x - 2a\,d,\; y - 2b\,d\right)$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x &= \text{Point x},\quad y = \text{Point y} \\ d &= \dfrac{a\,x + b\,y + c}{a^{2} + b^{2}} \end{aligned} \right.$$
x' = x − 2a·d और y' = y − 2b·d। अगर बिंदु पहले से ही रेखा पर है, तो ax + by + c = 0 होगा, इसलिए वह अपने ही ऊपर मैप हो जाता है।
हल किया गया उदाहरण
बिंदु (3, 4) को रेखा \(x - y = 0\) (\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 0\)) पर प्रतिबिंबित करते हैं। यहाँ \(a^{2} + b^{2} = 2\) और \(ax + by + c = 3 - 4 = -1\), इसलिए \(d = -1/2\)। तब $$x' = 3 - 2(1)(-0.5) = 4$$ और $$y' = 4 - 2(-1)(-0.5) = 3$$। रेखा \(y = x\) पर (3, 4) का प्रतिबिंब (4, 3) है — ठीक वही अदला-बदली जिसकी आप उम्मीद करते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या a, b या c शून्य हो सकते हैं? हाँ। केवल \(a = b = 0\) का मामला अमान्य है, क्योंकि तब कोई रेखा ही नहीं बनती; कैलकुलेटर शून्य से भाग होने से बचाता है।
क्या रेखा का मूल बिंदु (origin) से गुजरना ज़रूरी है? नहीं। स्थिरांक c रेखा को खिसका देता है, और यह सूत्र किसी भी स्थिति को संभाल लेता है।
अगर मेरी रेखा y = mx + k हो तो? इसे m·x − 1·y + k = 0 में बदल दें, जिससे \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\) मिलेगा।
