पॉइंट रोटेशन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल 2D तल में किसी बिंदु को चुने हुए केंद्र के चारों ओर दिए गए कोण से घुमाता है। रोटेशन एक "रिजिड" (दृढ़) रूपांतरण है: इसमें दूरियाँ और आकृतियाँ ज्यों की त्यों रहती हैं, सिर्फ़ दिशा (ओरिएंटेशन) बदलती है। ज्यामिति, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, रोबोटिक्स, गेम डेवलपमेंट और इंजीनियरिंग — हर जगह इसका इस्तेमाल होता है, जब भी किसी वस्तु या निर्देशांक को किसी धुरी (पिवट) के चारों ओर घुमाना हो।
इसका उपयोग कैसे करें
जिस बिंदु को घुमाना है उसके निर्देशांक भरें (Point X, Point Y)। रोटेशन का केंद्र तय करें (Center X, Center Y) — मूल बिंदु (origin) के चारों ओर घुमाना हो तो इसे (0, 0) पर ही रहने दें। फिर रोटेशन का कोण डिग्री में टाइप करें। धनात्मक (पॉज़िटिव) कोण वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज़) घुमाते हैं, और ऋणात्मक (नेगेटिव) कोण दक्षिणावर्त (क्लॉकवाइज़) घुमाते हैं। कैलकुलेटर नए निर्देशांक \((x', y')\) दिखा देता है।
सूत्र की पूरी समझ
मूल बिंदु के चारों ओर कोण θ से वामावर्त रोटेशन किसी बिंदु \((x, y)\) को इस तरह बदलता है:
$$x' = x\cdot\cos\theta - y\cdot\sin\theta$$ और $$y' = x\cdot\sin\theta + y\cdot\cos\theta$$।
किसी भी मनचाहे केंद्र \((c_x, c_y)\) के चारों ओर घुमाने के लिए पहले बिंदु में से केंद्र घटाएँ, फिर रोटेशन लागू करें, और अंत में केंद्र को वापस जोड़ दें। यही तीन-चरणों वाली "ट्रांसलेट–रोटेट–ट्रांसलेट" विधि कैलकुलेटर अंदर ही अंदर अपनाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु \((1, 0)\) को मूल बिंदु के चारों ओर 90° घुमाएँ। यहाँ \(\theta = 90°\), इसलिए \(\cos\theta = 0\) और \(\sin\theta = 1\)। तो $$x' = 1\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0$$ और $$y' = 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1$$। नया बिंदु \((0, 1)\) है — यानी ठीक एक चौथाई घुमाव वामावर्त दिशा में, जैसा कि अपेक्षित था।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कोण दक्षिणावर्त होते हैं या वामावर्त? धनात्मक कोण वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज़) घुमाते हैं — यह गणित की मानक परंपरा है। दक्षिणावर्त (क्लॉकवाइज़) घुमाव के लिए ऋणात्मक कोण डालें।
क्या मैं मूल बिंदु के अलावा किसी और बिंदु के चारों ओर घुमा सकता हूँ? हाँ। Center X और Center Y में अपनी धुरी (पिवट) का बिंदु भर दें; ट्रांसलेशन का हिसाब गणित अपने आप संभाल लेता है।
क्या रोटेशन से केंद्र से दूरी बदल जाती है? नहीं। रोटेशन दूरियों को ज्यों का त्यों रखता है, इसलिए घुमाया गया बिंदु केंद्र से उतनी ही दूरी पर रहता है जितनी मूल बिंदु थी।
