गोलीय निर्देशांक क्या होते हैं?
गोलीय निर्देशांक त्रि-आयामी (3D) अंतरिक्ष में किसी बिंदु को तीन मानों के ज़रिए दर्शाते हैं: मूल बिंदु से रेडियल दूरी \(\rho\) (रो), xy-तल में धनात्मक x-अक्ष से मापा गया दिगंशीय कोण \(\theta\) (थीटा), और धनात्मक z-अक्ष से नीचे की ओर मापा गया ध्रुवीय कोण \(\varphi\) (फाई)। यह कैलकुलेटर साधारण कार्तीय निर्देशांक (x, y, z) को गोलीय प्रणाली (ρ, θ, φ) में बदल देता है, जिसका इस्तेमाल भौतिकी, खगोल विज्ञान, कंप्यूटर ग्राफिक्स और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने बिंदु के तीनों कार्तीय घटक x, y और z दर्ज करें, और फिर ρ, θ तथा φ के मान पढ़ लें। कोणों को रेडियन और डिग्री—दोनों में दिखाया जाता है। दिगंशीय कोण atan2 फलन का उपयोग करता है, इसलिए यह सही चतुर्थांश (quadrant) पहचानता है और इसकी परास (−180°, 180°] होती है; जबकि ध्रुवीय कोण 0° से 180° तक होता है।
सूत्र की व्याख्या
रेडियल दूरी 3D पायथागोरस लंबाई है, यानी \(\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)। $$\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$ दिगंशीय कोण \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\) z-अक्ष के चारों ओर घुमाव बताता है। $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(y,\, x\right)$$ ध्रुवीय कोण \(\varphi = \arccos(z / \rho)\) ऊर्ध्वाधर अक्ष से झुकाव दर्शाता है। $$\varphi = \arccos\!\left(\frac{z}{\rho}\right)$$ जब \(\rho = 0\) हो (यानी मूल बिंदु पर), तो कोण अपरिभाषित होते हैं, इसलिए φ का डिफ़ॉल्ट मान 0 रखा जाता है।
हल किया गया उदाहरण
बिंदु (1, 1, 1) के लिए: \(\rho = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \approx 1.7320508\)। $$\rho = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \approx 1.7320508$$ \(\theta = \operatorname{atan2}(1, 1) = 45° = 0.7853982\) रेडियन। $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(1,\, 1\right) = 45^{\circ} = 0.7853982 \text{ रेडियन}$$ \(\varphi = \arccos(1/\sqrt{3}) = \arccos(0.5773503) \approx 0.9553166\) रेडियन \(\approx 54.7356°\)। $$\varphi = \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \arccos(0.5773503) \approx 0.9553166 \text{ रेडियन} \approx 54.7356^{\circ}$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कौन-सी कोण परिपाटी (convention) उपयोग की जाती है? भौतिकी/ISO परिपाटी: यहाँ \(\theta\) दिगंश (azimuth) है और \(\varphi\) z-अक्ष से मापा गया ध्रुवीय (झुकाव) कोण है।
arctan के बजाय atan2 क्यों? \(\operatorname{atan2}(y, x)\) x और y के किसी भी चिह्न के लिए सही चतुर्थांश लौटाता है, जबकि साधारण \(\arctan(y/x)\) ऐसा नहीं कर पाता।
अगर सभी इनपुट शून्य हों तो क्या होगा? तब \(\rho\) का मान 0 होता है और कोण गणितीय रूप से अपरिभाषित रहते हैं; ऐसी स्थिति में यह टूल \(\theta = 0\) और \(\varphi = 0\) लौटाता है।
