गोलीय से बेलनाकार निर्देशांक कनवर्टर क्या है?
यह टूल किसी 3D बिंदु को, जो गोलीय निर्देशांक (spherical coordinates) में दिया गया है, बेलनाकार निर्देशांक (cylindrical coordinates) में बदल देता है। इसमें भौतिकी/ISO की प्रचलित परिपाटी का उपयोग होता है, जहाँ r मूल बिंदु (origin) से रेडियल दूरी है, theta x-y तल में मापा गया दिगंशीय (azimuthal) कोण है, और phi धनात्मक z-अक्ष से नीचे की ओर मापा गया ध्रुवीय (polar/zenith) कोण है। ध्यान रहे कि कुछ गणित की पाठ्यपुस्तकों में theta और phi की भूमिकाएँ आपस में बदल दी जाती हैं, इसलिए हमेशा यह जाँच लें कि आपके स्रोत में कौन-सी परिपाटी अपनाई गई है।
इसका उपयोग कैसे करें
रेडियल दूरी r, दिगंशीय कोण theta और ध्रुवीय कोण phi दर्ज करें। कोण-इकाई चयनकर्ता से चुनें कि आपके कोण डिग्री में हैं या रेडियन में (यह सेटिंग दोनों कोणों पर लागू होती है)। चाहें तो प्रदर्शन परिशुद्धता (display precision) भी चुन सकते हैं। कैलकुलेटर आपको बेलनाकार त्रिज्या rho, दिगंशीय कोण theta (जो अपरिवर्तित रहता है) और अक्ष के अनुदिश ऊँचाई z लौटाता है।
सूत्र की व्याख्या
दिगंशीय कोण theta दोनों प्रणालियों में एक समान रहता है, इसलिए यह ज्यों का त्यों आगे चला जाता है। बाकी दो निर्देशांक रेडियल दूरी को z-अक्ष पर और उसके अनुदिश प्रक्षेपित (project) करने से मिलते हैं:
$$\rho = r\cdot\sin\phi, \quad \theta = \theta\ (\text{अपरिवर्तित}), \quad z = r\cdot\cos\phi$$आंतरिक रूप से कोण को पहले रेडियन में बदला जाता है (डिग्री को \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा करके), क्योंकि त्रिकोणमितीय फलनों को रेडियन की आवश्यकता होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\), \(\theta = 60\degree\), \(\phi = 30\degree\)। phi को रेडियन में बदलें: \(30 \times \frac{\pi}{180} = 0.5236\) रेडियन। अब $$\rho = 5 \times \sin(30\degree) = 5 \times 0.5 = 2.5,$$ दिगंशीय कोण \(60\degree\) पर ही रहता है, और $$z = 5 \times \cos(30\degree) = 5 \times 0.8660254 = 4.330127.$$ तो बेलनाकार निर्देशांक में यह बिंदु है \((2.5, 60\degree, 4.330127)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
theta क्यों नहीं बदलता? गोलीय और बेलनाकार दोनों प्रणालियाँ x-y तल में एक ही दिगंशीय कोण साझा करती हैं, इसलिए theta एक समान रहता है और बिना बदले आगे भेज दिया जाता है।
अगर phi = 0 हो तो क्या होगा? तब बिंदु धनात्मक z-अक्ष पर होता है: \(\rho = 0\) और \(z = r\)। \(\phi = 90\degree\) पर बिंदु x-y तल में होता है (\(\rho = r\), \(z = 0\)); और \(\phi = 180\degree\) पर यह ऋणात्मक z-अक्ष पर होता है (\(\rho = 0\), \(z = -r\))।
क्या rho ऋणात्मक हो सकता है? \(0 \le \phi \le 180\degree\) के लिए \(\sin\phi\) कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए rho हमेशा \(\ge 0\) रहता है। मानक प्रथा में phi को \([0, 180\degree]\) की सीमा में ही रखा जाता है।
