ما هو محول الإحداثيات الكروية إلى الأسطوانية؟
هذه الأداة تحوِّل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد معطاة بالإحداثيات الكروية إلى إحداثيات أسطوانية. وهي تعتمد اصطلاح الفيزياء/الأيزو ISO الشائع، حيث يمثّل r المسافة القُطرية من نقطة الأصل، ويمثّل theta (θ) الزاوية السمتية المقاسة في مستوى x-y، بينما يمثّل phi (φ) الزاوية القطبية (السمت الرأسي) المقاسة نزولًا من المحور z الموجب. وانتبه إلى أن بعض كتب الرياضيات تعكس دوري θ و φ، لذا تأكّد دائمًا من الاصطلاح الذي يستخدمه مصدرك.
طريقة الاستخدام
أدخِل المسافة القُطرية r، والزاوية السمتية theta، والزاوية القطبية phi. ثم اختر ما إذا كانت زواياك بالدرجات أم بالراديان من خلال محدِّد وحدة الزاوية (وهو يسري على الزاويتين معًا). ويمكنك اختياريًا تحديد دقة العرض. تُرجع الأداة نصف القطر الأسطواني rho، والزاوية السمتية theta (التي تبقى دون تغيير)، والارتفاع z على طول المحور.
شرح المعادلة
الزاوية السمتية theta متطابقة في النظامين، لذا تُنقل كما هي. أما الإحداثيان الآخران فينتجان من إسقاط المسافة القُطرية على المستوى وعلى المحور z:
$$\rho = r\cdot\sin(\phi)$$$$\theta = \theta \quad (\text{دون تغيير})$$$$z = r\cdot\cos(\phi)$$وداخليًا تُحوَّل الزاوية أولًا إلى الراديان (بضرب الدرجات في \(\pi/180\))، لأن الدوال المثلثية تتعامل مع الراديان.
مثال محلول
لنأخذ \(r = 5\)، و \(\theta = 60°\)، و \(\phi = 30°\). نحوِّل phi إلى الراديان: \(30 \times \pi/180 = 0.5236\) راديان. عندئذٍ \(\rho = 5 \times \sin(30°) = 5 \times 0.5 = 2.5\)، وتبقى الزاوية السمتية عند \(60°\)، و \(z = 5 \times \cos(30°) = 5 \times 0.8660254 = 4.330127\). وبذلك تكون النقطة بالإحداثيات الأسطوانية هي \((2.5,\ 60°,\ 4.330127)\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تتغيّر theta؟ لأن النظامين الكروي والأسطواني يتشاركان الزاوية السمتية نفسها في مستوى x-y، فتكون theta متطابقة وتُنقل كما هي دون أي تعديل.
ماذا يحدث عندما phi = 0؟ تقع النقطة على المحور z الموجب: \(\rho = 0\) و \(z = r\). وعند \(\phi = 90°\) تقع النقطة في مستوى x-y (\(\rho = r\) و \(z = 0\))، وعند \(\phi = 180°\) تكون على المحور z السالب (\(\rho = 0\) و \(z = -r\)).
هل يمكن أن يكون rho سالبًا؟ ضمن المجال \(0 \le \phi \le 180°\)، تكون \(\sin(\phi)\) غير سالبة، لذا يكون rho دائمًا \(\ge 0\). وتقضي الممارسة المتعارف عليها بإبقاء phi ضمن المجال \([0,\ 180°]\).
