محوّل الإحداثيات الأسطوانية إلى الديكارتية

أدخل الحساب

ρ (radial distance)

θ (azimuthal angle)

z (الارتفاع)

وحدة الزاوية Degrees Radians

نتائج

الإحداثيات الديكارتية (x، y، z)

(١٫٥, ٢٫٥٩٨٠٧٦, ٤)

الإحداثيات المستطيلة

x	١٫٥
y	٢٫٥٩٨٠٧٦٢١١٤
z	٤

ما هو محوّل الإحداثيات الأسطوانية إلى الديكارتية؟

تحوّل هذه الأداة نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد معطاة بالإحداثيات الأسطوانية — البُعد القُطري \(\rho\)، والزاوية السمتية \(\theta\)، والارتفاع \(z\) — إلى الإحداثيات الديكارتية (المستطيلة) المعتادة (\(x\)، \(y\)، \(z\)). تُستخدم الإحداثيات الأسطوانية على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة في المسائل ذات التماثل الدوراني، مثل الأنابيب والأسلاك والمجالات الكهرومغناطيسية، بينما تمثّل الإحداثيات الديكارتية نظام x-y-z المألوف الذي نستعمله يوميًا.

طريقة الاستخدام

أدخل البُعد القُطري \(\rho\) (وهو المسافة من المحور z إلى نقطتك)، ثم الزاوية السمتية \(\theta\) (تُقاس في المستوى xy ابتداءً من المحور x الموجب)، ثم الارتفاع \(z\). اختر ما إذا كانت الزاوية \(\theta\) معطاة بالدرجات أم بالراديان، ثم اقرأ القيم المحوَّلة (\(x\)، \(y\)، \(z\)). تقبل جميع الحقول أي عدد حقيقي، بما في ذلك القيم السالبة والصفر.

شرح المعادلة

التحويل قائم بالكامل على حساب المثلثات. تُحوَّل الزاوية أولًا إلى الراديان: فإذا اخترت الدرجات، اضرب \(\theta\) في \(\pi/180\). بعد ذلك يكون

$$x = \rho\cos\theta, \quad y = \rho\sin\theta$$

وهو ما يجزّئ البُعد القُطري إلى مركّبتيه الأفقيتين. أما الارتفاع z فيبقى كما هو: \(z = z\). وبما أن المعادلات تعتمد على الضرب فقط، فلا يوجد أي احتمال للقسمة على صفر؛ وعندما يكون \(\rho = 0\) تقع النقطة على المحور z ويصبح \(x = y = 0\).

اعلان

منظر علوي: \(x = \rho\cos\theta\) و\(y = \rho\sin\theta\) يكوّنان مثلثًا قائمًا في المستوى xy.

الإحداثيات الأسطوانية (\(\rho\)، \(\theta\)، \(z\)) مُسقَطة على المحاور الديكارتية x وy وz.

مثال محلول

لنأخذ \(\rho = 3\)، \(\theta = 60\) درجة، \(z = 4\). نحوّل الزاوية أولًا: \(60 \cdot \pi/180 = 1.0472\) راديان. ثم \(\cos(60°) = 0.5\) و \(\sin(60°) = 0.8660254\). وبذلك يكون \(x = 3 \cdot 0.5 = 1.5\)، و \(y = 3 \cdot 0.8660254 = 2.5980762\)، ويبقى \(z = 4\). فتكون النقطة الديكارتية هي (1.5، 2.5980762، 4).

الأسئلة الشائعة

ما الوحدات المستخدمة لـ \(\rho\) و \(z\)؟ أي وحدة طول متّسقة تختارها — فالمحوّل بلا أبعاد، لذا تخرج قيم \(x\) و \(y\) و \(z\) بالوحدة نفسها التي أدخلتها.

هل يمكن أن تكون الزاوية سالبة أو أكبر من 360 درجة؟ نعم. تتعامل الدوال المثلثية مع أي زاوية، لذا تعمل قيم مثل \(-45°\) أو \(720°\) بشكل صحيح.

كيف أحوّل في الاتجاه المعاكس؟ التحويل العكسي (من الديكارتية إلى الأسطوانية) يستخدم \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\)، و \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\)، و \(z = z\).