ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة تحويل معادلة الدائرة من صورتها العامة — \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) — إلى الصورة القياسية الأكثر فائدة \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). ومن الصورة القياسية يمكنك أن تقرأ مباشرةً مركز الدائرة \((h, k)\) ونصف قطرها \(r\)، وهو ما يسهّل كثيرًا رسم الدائرة وحل المسائل الهندسية.
طريقة الاستخدام
أدخِل المعاملات الثلاثة كما تظهر تمامًا في المعادلة العامة: D (معامل \(x\))، وE (معامل \(y\))، وF (الحد الثابت). تقوم الحاسبة بإكمال المربع نيابةً عنك، ثم تعرض لك المركز ونصف القطر والمعادلة القياسية كاملة.
شرح القانون
عند إكمال المربع لحدود \(x\) و\(y\) نحصل على \(h = -\dfrac{D}{2}\) و\(k = -\dfrac{E}{2}\). وبالتعويض مرة أخرى يصبح الطرف الأيمن \(r^2 = h^2 + k^2 - F\)، ومن ثَمّ يكون نصف القطر $$r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}$$ فإذا كانت هذه القيمة تساوي صفرًا فإن «الدائرة» تتحول إلى نقطة واحدة، وإذا كانت سالبة فلا توجد دائرة حقيقية.
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)، فيكون \(D = -6\)، و\(E = 8\)، و\(F = 9\). إذن \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\) و\(k = -\dfrac{8}{2} = -4\). ونحسب مربع نصف القطر: $$3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ ومنه \(r = 4\). وبذلك تكون الصورة القياسية: $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$$
الأسئلة الشائعة
ماذا أفعل إذا كانت معادلتي تحتوي على \(Ax^2 + Ay^2\)؟ اقسِم المعادلة كلها على \(A\) أولًا حتى يصبح معامل \(x^2\) و\(y^2\) مساويًا للواحد، ثم استخدم قيم \(D\) و\(E\) و\(F\) الناتجة.
لماذا يكون المركز \(\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)\) وليس \(\left(\dfrac{D}{2}, \dfrac{E}{2}\right)\)؟ لأن عملية إكمال المربع تُحدِث انقلابًا في الإشارة، فتأتي إحداثيات المركز معاكسة لنصف المعاملات الخطية.
ماذا يعني أن يكون \(r^2\) سالبًا؟ يعني أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية — أي لا توجد دائرة فعلية، بل دائرة تخيلية فقط.
