Công cụ này làm gì?
Công cụ giúp bạn chuyển phương trình đường tròn từ dạng tổng quát — \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) — sang dạng chính tắc tiện dụng hơn \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). Từ dạng chính tắc, bạn có thể đọc ngay được tâm \((h, k)\) và bán kính \(r\) của đường tròn, nhờ đó việc vẽ đồ thị và giải các bài toán hình học trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Cách sử dụng
Nhập đúng ba hệ số như chúng xuất hiện trong phương trình tổng quát: D (hệ số của x), E (hệ số của y) và F (số hạng tự do). Máy tính sẽ tự động hoàn thành bình phương và trả về tâm, bán kính cùng phương trình dạng chính tắc đã được lắp ghép đầy đủ.
Giải thích công thức
Khi hoàn thành bình phương các số hạng chứa x và y, ta được \(h = -\dfrac{D}{2}\) và \(k = -\dfrac{E}{2}\). Thay ngược lại, vế phải trở thành \(r^2 = h^2 + k^2 - F\), do đó bán kính là \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\). Nếu đại lượng này bằng 0 thì "đường tròn" chỉ là một điểm duy nhất, còn nếu nó âm thì không tồn tại đường tròn thực nào.
$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{D}{2} \\ k &= -\dfrac{E}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - F} \end{aligned} \right.$$
Ví dụ minh họa
Xét phương trình \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), suy ra \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\). Khi đó \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\) và \(k = -\dfrac{8}{2} = -4\). Bán kính bình phương là
$$3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$nên \(r = 4\). Vậy dạng chính tắc là \((x-3)^2 + (y+4)^2 = 16\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu phương trình của tôi có dạng \(Ax^2 + Ay^2\) thì sao? Hãy chia cả phương trình cho \(A\) trước để hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) bằng 1, sau đó dùng các giá trị D, E, F thu được.
Vì sao tâm là \((-D/2, -E/2)\) mà không phải \((D/2, E/2)\)? Vì quá trình hoàn thành bình phương làm đổi dấu, nên tọa độ tâm chính là số đối của một nửa các hệ số bậc nhất.
\(r^2\) âm có ý nghĩa gì? Điều đó có nghĩa là phương trình không có nghiệm thực — không tồn tại đường tròn thực sự, mà chỉ là một đường tròn ảo.
