Калькулятор: общий вид окружности → канонический вид

Введите расчет

Коэффициент D (при x)

Коэффициент E (при y)

Свободный член F

Введите коэффициенты из общего вида: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Результатов

Уравнение в каноническом виде

(x − 3)² + (y − -4)² = 16

центр и радиус — ниже

Центр (h, k)	(3, -4)
Радиус r	4
r²	16

Что делает этот калькулятор

Инструмент переводит уравнение окружности из общего вида — \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) — в более удобный канонический вид \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Из канонического уравнения сразу видны координаты центра окружности \((h, k)\) и её радиус \(r\), а это заметно упрощает построение графика и решение геометрических задач.

Как пользоваться

Введите три коэффициента ровно так, как они стоят в общем уравнении: D (коэффициент при x), E (коэффициент при y) и F (свободный член). Калькулятор сам выделит полные квадраты и выдаст центр, радиус и готовое уравнение в каноническом виде.

Разбор формулы

Если выделить полные квадраты по x и по y, получим \(h = -\dfrac{\text{D}}{2}\) и \(k = -\dfrac{\text{E}}{2}\). Подставляя обратно, правая часть превращается в \(r^2 = h^2 + k^2 - \text{F}\), откуда радиус \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}}\). Если это выражение равно нулю, «окружность» вырождается в одну точку, а если оно отрицательно — действительной окружности не существует.

$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Стандартный вид сразу даёт центр окружности \((h, k)\) и радиус \(r\).

Пример решения

Возьмём \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), то есть \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\). Тогда \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\) и \(k = -\dfrac{8}{2} = -4\). Квадрат радиуса равен

$$r^2 = 3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$

значит \(r = 4\). Канонический вид:

$$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16.$$

Выделение полного квадрата по x и y приводит общий вид к стандартному.

Частые вопросы

Что делать, если в уравнении есть слагаемые Ax² + Ay²? Сначала разделите всё уравнение на A, чтобы коэффициенты при x² и y² стали равны 1, а затем используйте полученные значения D, E и F.

Почему центр имеет координаты (−D/2, −E/2), а не (D/2, E/2)? При выделении полного квадрата знак меняется на противоположный, поэтому координаты центра равны половинам линейных коэффициентов, взятым с обратным знаком.

Что означает отрицательный \(r^2\)? Это значит, что у уравнения нет действительных решений — реальной окружности не существует, она лишь мнимая.