這個計算器的功能
這個工具可以把圓方程式從一般式——\(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\)——轉換成更實用的標準式 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)。從標準式你可以一眼讀出圓心座標 \((h, k)\) 與半徑 \(r\)，無論是畫圖還是解幾何題都會輕鬆許多。
使用方式
請依照一般式中的數值，輸入三個係數：D（x 的係數）、E（y 的係數），以及 F（常數項）。計算器會自動幫你完成配方法，並回傳圓心、半徑，以及整理好的完整標準式方程式。
公式解析
對 x 項與 y 項分別進行配方後，可得 \(h = -\dfrac{\text{D}}{2}\)、\(k = -\dfrac{\text{E}}{2}\)。代回原式後，等號右邊會變成 \(r^2 = h^2 + k^2 - \text{F}\)，因此半徑為 $$r = \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}}$$ 若這個值剛好等於零，這個「圓」其實只是一個點；若為負值，則表示沒有實圓存在。
範例演算
以 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) 為例，可知 \(\text{D} = -6\)、\(\text{E} = 8\)、\(\text{F} = 9\)。則 \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\)，\(k = -\dfrac{8}{2} = -4\)。半徑的平方為 $$3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ 所以 \(r = 4\)。最後得到的標準式為 $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$$
常見問題
如果方程式有 \(\text{A}x^2 + \text{A}y^2\) 這樣的項該怎麼辦？先把整條方程式同除以 A，讓 x² 與 y² 的係數變成 1，再用調整後得到的 D、E、F 代入計算即可。
為什麼圓心是 \((-\frac{\text{D}}{2}, -\frac{\text{E}}{2})\)，而不是 \((\frac{\text{D}}{2}, \frac{\text{E}}{2})\)？因為配方法的過程中會產生符號變號，所以圓心座標會是一次項係數一半的相反數。
r² 為負值代表什麼意思？這表示方程式沒有實數解——也就是說沒有真正的圓，只存在一個虛圓。
