Ce que fait ce calculateur
Cet outil transforme l'équation d'un cercle de sa forme générale — \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) — vers la forme canonique, bien plus pratique : \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). À partir de la forme canonique, vous lisez directement le centre \((h, k)\) du cercle ainsi que son rayon \(r\), ce qui simplifie considérablement le tracé et la résolution de problèmes de géométrie.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients exactement tels qu'ils apparaissent dans l'équation générale : D (le coefficient de \(x\)), E (le coefficient de \(y\)) et F (le terme constant). Le calculateur complète le carré à votre place et renvoie le centre, le rayon ainsi que l'équation complète sous forme canonique.
La formule expliquée
En complétant le carré sur les termes en \(x\) et en \(y\), on obtient \(h = -\dfrac{\text{D}}{2}\) et \(k = -\dfrac{\text{E}}{2}\). En reportant ces valeurs, le membre de droite devient \(r^2 = h^2 + k^2 - \text{F}\), d'où le rayon \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}}\). Si cette quantité est nulle, le « cercle » se réduit à un point unique ; si elle est négative, aucun cercle réel n'existe.
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{h^2 + k^2 - \text{F}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple résolu
Prenons \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), donc \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\). On a alors \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\) et \(k = -\dfrac{8}{2} = -4\). Le carré du rayon vaut $$3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$ donc \(r = 4\). La forme canonique s'écrit \((x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16\).
FAQ
Et si mon équation comporte des termes \(\text{A}x^2 + \text{A}y^2\) ? Divisez d'abord toute l'équation par \(\text{A}\) afin que les coefficients de \(x^2\) et \(y^2\) soient égaux à 1, puis utilisez les valeurs de D, E et F obtenues.
Pourquoi le centre est-il \((-\frac{\text{D}}{2}, -\frac{\text{E}}{2})\) et non \((\frac{\text{D}}{2}, \frac{\text{E}}{2})\) ? Compléter le carré entraîne un changement de signe : les coordonnées du centre sont donc les opposées de la moitié des coefficients linéaires.
Que signifie un \(r^2\) négatif ? Cela indique que l'équation n'a aucune solution réelle : il n'existe pas de cercle véritable, seulement un cercle imaginaire.
