Qu'est-ce que la forme générale d'un cercle ?
La façon la plus intuitive de décrire un cercle est la forme canonique (aussi appelée forme standard) : \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), où \((h, k)\) désigne le centre et \(r\) le rayon. En développant cette expression et en regroupant les termes, on obtient la forme générale : \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\). Ce calculateur effectue cette conversion à votre place et vous renvoie les trois coefficients \(D\), \(E\) et \(F\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'abscisse du centre (h), l'ordonnée du centre (k) et le rayon (r). L'outil calcule instantanément les coefficients de la forme générale et affiche l'équation complète. Les centres à coordonnées négatives et les rayons décimaux sont parfaitement pris en charge.
La formule expliquée
On part de \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), que l'on développe : \(x^{2} - 2hx + h^{2} + y^{2} - 2ky + k^{2} = r^{2}\). On fait ensuite passer tous les termes du même côté : \(x^{2} + y^{2} - 2hx - 2ky + (h^{2} + k^{2} - r^{2}) = 0\). En identifiant cette expression avec \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), on obtient :
$$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 \\[1.5em] \text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= -2\,\text{Centre x (h)} \\ E &= -2\,\text{Centre y (k)} \\ F &= \text{h}^{2} + \text{k}^{2} - \text{Rayon (r)}^{2} \end{aligned} \right.$$\(D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\)
Exemple détaillé
Prenons un cercle de centre \((3, -2)\) et de rayon \(4\). On a alors \(D = -2(3) = -6\), \(E = -2(-2) = 4\) et \(F = 3^{2} + (-2)^{2} - 4^{2} = 9 + 4 - 16 = -3\). La forme générale est donc \(x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 3 = 0\).
FAQ
Peut-on revenir au centre et au rayon ? Oui : à partir de \(D\), \(E\) et \(F\), on retrouve \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) et \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\).
Que se passe-t-il si F rend le rayon imaginaire ? Si \(h^{2} + k^{2} - F\) est négatif, il n'existe aucun cercle réel (on parle de « cercle imaginaire ») ; un rayon valide impose \(r^{2} = h^{2} + k^{2} - F \geq 0\).
L'ordre de D et E a-t-il une importance ? \(D\) multiplie toujours \(x\) et \(E\) multiplie toujours \(y\) : il faut donc bien garder chaque coefficient associé à sa variable.
