圆的一般方程计算器

输入计算

圆心横坐标 (h)

圆心纵坐标 (k)

半径 (r)

结果

圆的一般方程

x² + y² + (-0)x + (-0)y + (-25) = 0

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

D 系数	-0
E 系数	-0
F 常数项	-25
圆心 (h, k)	(0, 0)
半径	5

什么是圆的一般方程？

描述一个圆，最直观的方式是标准方程：(x − h)² + (y − k)² = r²，其中 (h, k) 是圆心，r 是半径。把这个表达式展开并合并同类项，就得到了一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。本计算器会自动帮你完成这一转换，直接给出 D、E、F 三个系数。

由圆心 (h, k) 和半径 r 在坐标平面上确定的圆。

如何使用本计算器

分别输入圆心的横坐标 (h)、圆心的纵坐标 (k) 以及半径 (r)，工具会立即算出一般方程的各项系数，并显示完整方程。负数圆心和小数半径都完全支持。

公式推导

从 (x − h)² + (y − k)² = r² 出发，先展开：x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r²。再把所有项移到等号一侧：x² + y² − 2hx − 2ky + (h² + k² − r²) = 0。将它与 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 逐项对照，即可得到：

D = −2h，  E = −2k，  F = h² + k² − r²

圆心 (h, k) 和半径 r 决定系数 D、E 和 F。

实例演算

设一个圆的圆心为 (3, −2)，半径为 4。那么 D = −2(3) = −6，E = −2(−2) = 4，F = 3² + (−2)² − 4² = 9 + 4 − 16 = −3。因此它的一般方程就是 x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0。

常见问题

能从一般方程反推回圆心和半径吗？ 可以。已知 D、E、F，即可求出 h = −D/2，k = −E/2，r = √(h² + k² − F)。

如果 F 使半径变成虚数怎么办？ 当 h² + k² − F 为负数时，该方程不表示真实存在的圆（即所谓的“虚圆”）；只有当 r² = h² + k² − F ≥ 0 时，半径才有效。

D 和 E 的顺序重要吗？ D 始终是 x 的系数，E 始终是 y 的系数，因此一定要让它们各自对应正确的变量，不能颠倒。