Çemberin genel denklemi nedir?
Bir çemberi anlatmanın en sezgisel yolu standart biçimdir: \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\). Burada \((h, k)\) merkezi, \(r\) ise yarıçapı gösterir. Bu ifadeyi açıp terimleri bir araya topladığınızda genel biçim ortaya çıkar: \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\). Bu hesaplama aracı dönüşümü sizin yerinize yapar ve D, E ile F olmak üzere üç katsayıyı verir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Merkezin x koordinatını (h), y koordinatını (k) ve yarıçapı (r) girin. Araç, genel biçim katsayılarını anında hesaplar ve denklemin tamamını gösterir. Negatif merkez değerleri ve ondalıklı yarıçaplar sorunsuz şekilde desteklenir.
Formülün açıklaması
\((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) ifadesinden başlayalım ve açalım: \(x^{2} - 2hx + h^{2} + y^{2} - 2ky + k^{2} = r^{2}\). Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \(x^{2} + y^{2} - 2hx - 2ky + (h^{2} + k^{2} - r^{2}) = 0\). Bunu \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) ile eşleştirdiğimizde şunu elde ederiz:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}$$
Çözümlü örnek
Merkezi \((3, -2)\) ve yarıçapı 4 olan bir çember düşünelim. Bu durumda \(D = -2(3) = -6\), \(E = -2(-2) = 4\) ve $$F = 3^{2} + (-2)^{2} - 4^{2} = 9 + 4 - 16 = -3$$ olur. Dolayısıyla genel biçim \(x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 3 = 0\) şeklindedir.
Sık Sorulan Sorular
Merkez ve yarıçapa geri dönebilir miyim? Evet — \(D\), \(E\) ve \(F\) verildiğinde \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) ve \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\) ile bu değerleri yeniden bulabilirsiniz.
F değeri yarıçapı sanal yaparsa ne olur? \(h^{2} + k^{2} - F\) negatifse gerçek bir çember yoktur (buna "sanal çember" denir); geçerli bir yarıçap için \(r^{2} = h^{2} + k^{2} - F \geq 0\) koşulu sağlanmalıdır.
D ve E'nin sırası önemli mi? \(D\) her zaman x ile, \(E\) ise her zaman y ile çarpılır; bu yüzden onları kendi değişkenleriyle eşleşmiş halde tutun.
