ما هي الصيغة العامة لمعادلة الدائرة؟
أبسط طريقة لوصف الدائرة هي الصيغة القياسية: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)، حيث يمثّل \((h, k)\) المركز و\(r\) نصف القطر. وعند فكّ هذا المقدار وجمع الحدود المتشابهة نحصل على الصيغة العامة: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). تتولّى هذه الحاسبة إجراء هذا التحويل نيابةً عنك، وتعرض لك المعاملات الثلاثة D وE وF.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الإحداثي السيني لمركز الدائرة \((h)\)، ثم الإحداثي الصادي \((k)\)، وأخيرًا نصف القطر \((r)\). تحسب الأداة معاملات الصيغة العامة على الفور وتعرض لك المعادلة كاملةً. كما تدعم الحاسبة المراكز ذات القيم السالبة وأنصاف الأقطار العشرية دون أي مشكلة.
شرح الصيغة الرياضية
نبدأ من المعادلة \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) ثم نفكّها لنحصل على: \(x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2\). ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد فينتج: \(x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0\). وبمطابقة هذه المعادلة مع
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$نستنتج:
\(D = -2h\)، \(E = -2k\)، \(F = h^2 + k^2 - r^2\)
مثال محلول
لنأخذ دائرة مركزها \((3, -2)\) ونصف قطرها \(4\). عندئذٍ يكون
$$D = -2(3) = -6$$و
$$E = -2(-2) = 4$$و
$$F = 3^2 + (-2)^2 - 4^2 = 9 + 4 - 16 = -3$$وبذلك تكون الصيغة العامة هي \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني العودة من الصيغة العامة إلى المركز ونصف القطر؟ نعم؛ إذا توفّرت لديك القيم D وE وF فيمكنك استرجاع المركز ونصف القطر كالتالي: \(h = -D/2\)، و\(k = -E/2\)، و\(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\).
ماذا يحدث إذا جعلت قيمة F نصف القطر تخيليًا؟ إذا كانت قيمة \(h^2 + k^2 - F\) سالبة فلا توجد دائرة حقيقية (تُسمى "دائرة تخيلية")؛ فالحصول على نصف قطر صحيح يستلزم أن يكون \(r^2 = h^2 + k^2 - F \geq 0\).
هل يهمّ ترتيب D وE؟ نعم؛ فالمعامل D يُضرب دائمًا في x، والمعامل E يُضرب دائمًا في y، لذا احرص على إبقاء كلٍّ منهما مقترنًا بمتغيّره.
