ماذا يفعل هذا المحوّل
تحوّل هذه الأداة نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد من الإحداثيات الأسطوانية (ρ، θ، z) إلى الإحداثيات الكروية (r، θ، φ). إنها رياضيات بحتة تنطبق في كل مكان — فلا توجد قواعد خاصة بمنطقة معيّنة. تعتمد الأداة اصطلاح الفيزياء/الآيزو (ISO): حيث θ هي زاوية السمت (الدوران حول المحور z)، وφ هي الزاوية القطبية (زاوية الميل) مقيسةً من المحور +z.
الاصطلاح المعتمد
الأسطوانية: ρ هي المسافة القطرية من المحور z (ρ ≥ 0)، وθ هي زاوية السمت في المستوى xy، وz هو الارتفاع. الكروية: r هي المسافة من نقطة الأصل، وθ هي زاوية السمت نفسها (تنتقل دون تغيير)، وφ هي الزاوية المقيسة نزولاً من المحور +z. وبما أنّ \(r\) و\(\varphi\) تعتمدان على \(\rho\) وz فقط، فإنّ زاوية السمت θ تبقى ثابتة بين النظامين.
كيفية الاستخدام
أدخل قيم ρ وθ وz، ثم اختر ما إذا كانت زواياك بالدرجات أم بالراديان، وحدّد دقة العرض. تُظهر النتيجة قيمة r، وقيمة θ دون تغيير، وقيمة φ المحسوبة بوحدة الزاوية نفسها التي اخترتها.
شرح المعادلات
تُحسب المسافة القطرية باستخدام نظرية فيثاغورس في المستوى الذي يحتوي المحور z والنقطة: $$r = \sqrt{\rho^{2} + z^{2}}$$ أمّا الزاوية القطبية فهي $$\varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\rho,\; z\right)$$ ونستخدم atan2 بدلاً من \(\operatorname{atan}(\rho/z)\) لكي تعطي \(z = 0\) قيمة 90° بالضبط، وتُرجع \(z < 0\) زاوية أكبر من 90°، ولتكون النتيجة دائماً ضمن المجال \([0, \pi]\).
مثال محلول
عند \(\rho = 3\)، \(\theta = 60\degree\)، \(z = 4\): تكون $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ و$$\varphi = \operatorname{atan2}(3, 4) = \operatorname{atan}(0.75) = 36.86989765\degree$$ وتبقى θ مساوية 60°. فتكون الإحداثيات الكروية هي (5، 60°، 36.86989765°).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تتغيّر قيمة θ؟ لأنّ كلا النظامين يقيسان زاوية السمت بالطريقة نفسها حول المحور z، فتنتقل القيمة كما هي.
ماذا يحدث عندما تكون z = 0؟ تقع النقطة في المستوى xy، فتكون \(\varphi = 90\degree\) (\(\pi/2\)). وتتعامل دالة atan2 مع هذه الحالة دون القسمة على صفر.
وماذا لو كانت ρ = 0 وz = 0؟ تكون النقطة هي نقطة الأصل: \(r = 0\)، وφ غير معرّفة رياضياً (تُرجع الأداة القيمة 0).
