ما الذي يقوم به هذا المحوّل
يحوّل محوّل الإحداثيات الديكارتية إلى الأسطوانية نقطةً مُعطاة بالإحداثيات المستطيلة (x، y، z) إلى إحداثيات أسطوانية (rho، theta، z). تصف الإحداثيات الأسطوانية أيّ نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد عبر بُعدها القُطري عن المحور z (وهو rho)، والزاوية السمتية حول هذا المحور (theta)، وارتفاعها (z). ويُستخدَم هذا النظام على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة وفي كل مسألة تتمتّع بتماثل دوراني حول محور، مثل الأنابيب والأسلاك والمجالات الكهرومغناطيسية.
كيفية الاستخدام
أدخِل المركّبات الديكارتية الثلاث x وy وz. ثم اختر ما إذا كنت تريد الزاوية theta معبَّرًا عنها بالدرجات أم بالراديان. سيُعيد لك المحوّل قيمة rho (وهي دائمًا غير سالبة)، وقيمة theta بالوحدة التي اخترتها، وقيمة z كما هي دون تغيير.
شرح المعادلة
يعتمد التحويل على العلاقات التالية:
$$\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2}}, \quad z = \text{z}$$$$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(\text{y},\ \text{x}\right) \cdot \frac{180}{\pi}$$\(\rho = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2}}\) وهي المسافة من المحور z إلى مُسقَط النقطة على المستوى xy. أمّا \(\theta = \operatorname{atan2}(\text{y}, \text{x})\) فهي الزاوية المقيسة من الجزء الموجب من المحور x. ونستخدم الدالة atan2 ذات الوسيطين بدلًا من \(\arctan(\text{y}/\text{x})\) المبسّطة، وذلك لضمان اختيار الربع الصحيح ولمعالجة الحالة \(x = 0\) من دون الوقوع في القسمة على صفر. وتبقى الإحداثية z على حالها. وعند طلب النتيجة بالدرجات، يُضرَب الناتج بالراديان في \(180/\pi\).
مثال محلول
لِنأخذ \(x = 3\) وy = 4 وz = 5 مع إخراج النتيجة بالدرجات: \(\rho = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). وtheta \(= \operatorname{atan2}(4, 3) = 0.927295\) راديان \(= 53.1301°\). وz = 5. وبذلك تكون النقطة الأسطوانية هي (5، 53.1301°، 5). أمّا بالراديان فتكون \(\theta = 0.927295\) راديان.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت كلٌّ من x وy تساوي صفرًا؟ عندئذٍ تكون \(\rho = 0\) وتصبح theta غير مُعرَّفة رياضيًا؛ ووفقًا لاصطلاح الدالة atan2 تُعطى النتيجة على أنها 0.
لماذا قد تكون قيمة theta سالبة؟ تُعيد الدالة atan2 قيمًا ضمن المجال \((-180°,\ 180°]\) (أو \((-\pi,\ \pi]\)). وللتعبير عن theta ضمن المجال 0–360°، أضِف 360° (أو \(2\pi\)) إلى أيّ نتيجة سالبة.
هل يُغيّر هذا قيمة z؟ لا. فالإحداثية z متطابقة في كلا النظامين الديكارتي والأسطواني.
