محوّل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات الكروية

أدخل الحساب

x

y

z

وحدة الزاوية Degrees Radians

نتائج

البُعد القُطري r

٧٫٠٧١٠٦٨

spherical coordinates (r, θ, φ)

θ (azimuth)	٥٣٫١٣٠١٠٢ deg
φ (inclination)	٤٥ deg

ماذا يفعل هذا المحوّل؟

تحوّل هذه الأداة نقطةً معطاةً بالإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد (x, y, z) إلى إحداثيات كروية (r, θ, φ). وهي أداة رياضية بحتة تعمل مع أي قيم حقيقية للمُدخلات، وتتيح لك اختيار عرض الزاويتين إمّا بالدرجات أو بالراديان.

الاصطلاح المُعتمد هنا

التزم باصطلاح هذه الصفحة بدقّة، فقد يختلف عمّا تجده في بعض المراجع والكتب الدراسية. هنا يمثّل r البُعد القُطري (المسافة من نقطة الأصل)، أمّا θ فهي الزاوية السمتية (الأزيموثية) المقيسة في المستوى x-y بدءًا من محور x الموجب، بينما φ هي الزاوية القطبية (زاوية الميل) المقيسة نزولًا من محور z الموجب.

الإحداثيات الكروية: r هي المسافة إلى نقطة الأصل، وphi تُقاس من المحور z، وtheta هي السمت في المستوى xy.

المعادلات

r = الجذر التربيعي لـ (x² + y² + z²). أمّا الزاويتان فتستخدمان دالة قوس الظل ذات الوسيطين (atan2) لمزيد من الموثوقية:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\, x), \quad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\sqrt{x^2+y^2},\, z\right)$$

واستخدام atan2 بدلًا من الصيغة المبسّطة \(\operatorname{atan}(y/x)\) يتجنّب القسمة على صفر ويحافظ على الرُّبع الصحيح. جميع نتائج الدوال المثلثية تكون بالراديان؛ وعند اختيار «الدرجات» تُضرب كل زاوية في \(180/\pi\).

اعلان

تأتي الصيغ من المثلثات القائمة: phi تربط z بـ r، بينما تتحدد theta بواسطة x وy.

طريقة الاستخدام

أدخل مركّبات النقطة x وy وz، ثم اختر وحدة عرض الزاوية، واقرأ قيم r وθ وφ. لاحظ أنّ قيمة r لا تتأثّر بوحدة الزاوية المختارة.

اعلان

مثال محلول

لِنأخذ x = 3 وy = 4 وz = 5 مع العرض بالدرجات: \(r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7.071068\). وθ \(= \operatorname{atan2}(4, 3) = 0.927295\) راديان \(= 53.130102\) درجة. وبما أنّ \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5\)، فإنّ φ \(= \operatorname{atan2}(5, 5) = \operatorname{atan}(1) = 0.785398\) راديان \(= 45\) درجة.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث عندما x = 0؟ تتعامل دالة atan2 مع هذه الحالة بسلاسة: فإذا كانت x = 0 مع y > 0 تكون θ = 90 درجة، وإذا كانت y < 0 تكون θ = -90 درجة.

وماذا لو كانت z = 0؟ عندئذٍ تقع النقطة في المستوى x-y، فتكون φ = 90 درجة (π/2). أمّا القيمة z < 0 فتعطي φ أكبر من 90 درجة بشكل صحيح.

وماذا عن نقطة الأصل؟ إذا كانت x = y = z = 0 فإنّ r = 0 وتصبح الزاويتان غير معرّفتين رياضيًا؛ وتعرض هذه الأداة القيمة 0 لكلتيهما وفقًا لاصطلاح دالة atan2.