ما هي حاسبة الصيغة القياسية للقطع الناقص؟
تُكوّن هذه الحاسبة معادلة القطع الناقص بالصيغة القياسية انطلاقًا من إحداثيات مركزه ونصفي محوريه. تُسهّل الصيغة القياسية قراءة موقع المركز واتجاه القطع الناقص وحجمه، كما أنها نقطة الانطلاق لإيجاد البؤرتين والمساحة والمحيط والاختلاف المركزي. تعمل الأداة مع أي قطع ناقص محاذٍ للمحاور، وهي أداة رياضية بحتة عامة لا ترتبط بأي بلد أو نظام محلي.
طريقة الاستخدام
أدخل إحداثيي المركز h (المحور x) وk (المحور y)، ثم أدخل نصفي المحورين: a المقاس على اتجاه المحور x، وb المقاس على اتجاه المحور y. تقوم الحاسبة بتكوين المعادلة وعرض نصف المحور الأكبر A، ونصف المحور الأصغر B، والبعد البؤري c، والاختلاف المركزي e، والمساحة، إضافةً إلى محيط تقريبي.
شرح الصيغة الرياضية
الصيغة القياسية هي:
$$\frac{\left(x - \text{h}\right)^2}{\text{a}^{\,2}} + \frac{\left(y - \text{k}\right)^2}{\text{b}^{\,2}} = 1$$
القيمة الأكبر بين a وb تمثل نصف المحور الأكبر A، والأصغر يمثل نصف المحور الأصغر B. المسافة من المركز إلى كل بؤرة هي \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\)، والاختلاف المركزي هو \(e = c / A\) (يتراوح بين 0 للدائرة و1 للقطع الناقص شديد الانبساط)، والمساحة تساوي \(\pi\cdot\text{a}\cdot\text{b}\)، أما المحيط فيُحسب باستخدام تقريب رامانوجان الدقيق: $$P \approx \pi (A + B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$$ حيث \(h = (A - B)^2/(A + B)^2\).
مثال محلول
للمركز (2، −1) مع \(a = 5\) و\(b = 3\)، تكون المعادلة $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1.$$ هنا \(A = 5\) و\(B = 3\)، إذن \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\)، والاختلاف المركزي \(e = 4/5 = 0.8\)، والمساحة \(= \pi\cdot 5\cdot 3 \approx 47.12\)، والمحيط \(\approx 25.53\).
الأسئلة الشائعة
أي المحورين هو "الأكبر"؟ أيّهما كان نصف محوره أكبر. إذا كان \(a > b\) فالمحور الأكبر أفقي، وإذا كان \(b > a\) فهو رأسي.
ماذا لو كان a = b؟ يتحول القطع الناقص إلى دائرة، فيصبح الاختلاف المركزي 0، وتنطبق البؤرتان معًا في المركز.
هل قيمة المحيط دقيقة تمامًا؟ لا توجد صيغة مغلقة دقيقة؛ تستخدم القيمة تقريب رامانوجان الذي يفوق دقته 0.01% بكثير في القطوع الناقصة المعتادة.
